A12 Дано: \(\triangle ABC - \text{равнобедренный. Внешний угол при}\ вершине В равен 110°\) Найдите \(\angle C.\) Ответ:

Дано:

• \( \triangle ABC \)
• \( \text{равнобедренный} \)
• \( \text{Внешний угол при вершине } B = 110^{\circ} \)

Найти:

• \( \angle C \)

Решение:

1. Найдем внутренний угол при вершине B.

   Внутренний угол при вершине B и внешний угол при той же вершине являются смежными, то есть их сумма равна 180°.

   \( \angle B = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \).

2. Определим вид равнобедренного треугольника.

   Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный, то углы при основании равны. У нас есть внешний угол при вершине B. Если B - вершина, то A и C - углы при основании, и \( \angle A = \angle C \). Если же B - угол при основании, то углы при основании равны, то есть \( \angle B = \angle C \) или \( \angle B = \angle A \).

   Рассмотрим случай, когда B - угол при основании. Тогда \( \angle B = 70^{\circ} \). Если \( \angle B = \angle C \), то \( \angle C = 70^{\circ} \). Тогда \( \angle A = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 70^{\circ} = 40^{\circ} \). В этом случае углы при основании равны, но мы должны проверить, что внешний угол при B равен 110°. Если \( \angle B = 70^{\circ} \), то внешний угол при B = \( 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} \). Этот случай подходит.

   Рассмотрим случай, когда B - вершина, т.е. \( \angle A = \angle C \). Тогда \( \angle B = 70^{\circ} \) (это внутренний угол). Сумма углов \( \angle A + \angle C = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} \). Так как \( \angle A = \angle C \), то \( \angle A = \angle C = 110^{\circ} / 2 = 55^{\circ} \).

   По условию, внешний угол при вершине B равен 110°. Это означает, что внутренний угол B равен 70°. Поскольку треугольник равнобедренный, два угла равны. Если \( \angle B = 70^{\circ} \), то либо \( \angle A = \angle C = (180^{\circ} - 70^{\circ}) / 2 = 55^{\circ} \) (если B - вершина), либо \( \angle A = 70^{\circ} \) или \( \angle C = 70^{\circ} \) (если B - угол при основании). Поскольку мы ищем \( \angle C \), и \( \angle C \) является углом при основании, то \( \angle C = 55^{\circ} \).

3. Вывод: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если внешний угол при вершине B равен 110°, то внутренний угол B равен \( 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \). Так как углы при основании равны, а сумма всех углов треугольника равна 180°, то \( \angle C = \angle A = (180^{\circ} - 70^{\circ}) / 2 = 110^{\circ} / 2 = 55^{\circ} \).

Ответ: 55