А2. В треугольнике CDE проведена биссектриса EF. ∠C=90°, ∠D = 30°.

Решение:

а) Докажите, что треугольник DEF - равнобедренный.

В треугольнике CDE сумма углов равна 180°. Найдем угол ∠E:

\[ \angle E = 180° - \angle C - \angle D = 180° - 90° - 30° = 60° \]

EF — биссектриса угла ∠E, поэтому она делит его пополам:

\[ \angle CEF = \angle DEF = \frac{\angle E}{2} = \frac{60°}{2} = 30° \]

Теперь рассмотрим треугольник DEF. У нас есть:

• \( \angle D = 30° \) (по условию)
• \( \angle DEF = 30° \) (найдено выше)

Так как \( \angle D = \angle DEF \), то треугольник DEF является равнобедренным с основанием DF.

б) Сравните отрезки CF и DF.

В равнобедренном треугольнике DEF углы при основании равны (\( \angle D = \angle DEF = 30° \)). Следовательно, стороны, лежащие напротив этих углов, равны:

\[ DE = DF \]

Теперь рассмотрим треугольник CDE:

• \( \angle C = 90° \)
• \( \angle D = 30° \)
• \( \angle E = 60° \)

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. Это катет CF:

\[ CF = \frac{1}{2} DE \]

Так как \( DE = DF \), то

\[ CF = \frac{1}{2} DF \]

Следовательно, отрезок CF в два раза меньше отрезка DF.

Ответ: а) Треугольник DEF равнобедренный, так как \( \angle D = \angle DEF = 30° \). б) Отрезок CF в два раза меньше отрезка DF.