А3. Дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой BC. Постройте вектор \(\vec p=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}\) и найдите \(|\vec p|\), если AB = 8 см.

Так как \(BC\) — гипотенуза, угол \(A\) прямой. По правилу треугольника:

\[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{?}\]

Для данных направлений используем разложение вектора \(\overrightarrow{BC}\):

\[\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.\]

Следовательно,

\[-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC},\]

и

\[\vec p=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AB}.\]

Поэтому

\[|\vec p|=2|\overrightarrow{AB}|=2\cdot8=16\text{ см}.\]

Ответ: \(\vec p=2\overrightarrow{AB}\), \(|\vec p|=16\text{ см}\).