A3. Найдите ГМТ точек M, для которых ∠AMB = 60°, если AB = 8 см.

Пусть O — середина AB. В треугольнике AMB углы при A и B равны по 60° − 60° ÷ 2 = 60°? Уточним: ∠AMB = 60°, поэтому два остальных угла в сумме равны 120°. Для построения ГМТ удобнее рассмотреть окружность, проходящую через A, B и M.

Центр такой окружности лежит на серединном перпендикуляре к AB. В равнобедренном треугольнике с основанием AB центральный угол, опирающийся на хорду AB, равен 120° для дуги, содержащей M; значит, угол между радиусом и половиной хорды равен 60°. При AB = 8 см получаем OM = 4 см и радиус окружности R = 4/ sin 60° = 8/√3 см.

Существуют два положения центра — по разные стороны от AB; соответствующие дуги с вершиной M лежат по противоположным сторонам хорды. Точки A и B исключаются, поскольку угол AMB там не определён.

Ответ: две большие дуги окружностей, проходящих через A и B, на которых хорда AB видна под углом 60°; концы A и B не включаются. Их центры лежат на серединном перпендикуляре к AB, а радиус каждой окружности равен 8/√3 см.