A3. Решите уравнение: a) sin²x + sinx - 2 = 0; б) 1 + 7 cos²x = 3 sin 2x.

Решение:

• a) sin²x + sinx - 2 = 0
  • Пусть y = sin x. Тогда уравнение примет вид: y² + y - 2 = 0.
  • Решаем квадратное уравнение:
    • \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \]
    • \[ y_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \]
    • \[ y_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \]
  • Возвращаемся к замене:
    • \[ \sin x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
    • \[ \sin x = -2 \quad \text{(нет решений, так как -1 ≤ sin x ≤ 1)} \]
• б) 1 + 7 cos²x = 3 sin 2x
  • Используем формулу двойного угла sin 2x = 2 sin x cos x и основное тригонометрическое тождество sin²x + cos²x = 1.
  • \[ \sin^2 x + \cos^2 x + 7\cos^2 x = 3(2\sin x \cos x) \]
  • \[ \sin^2 x + 8\cos^2 x = 6\sin x \cos x \]
  • Если cos x = 0, то sin x = ±1. Тогда 1 = 0, что неверно. Значит, cos x ≠ 0. Разделим обе части на cos²x:
  • \[ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{8\cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{6\sin x \cos x}{\cos^2 x} \]
  • \[ \text{tg}^2 x + 8 = 6\text{tg} x \]
  • \[ \text{tg}^2 x - 6\text{tg} x + 8 = 0 \]
  • Пусть z = tg x. Тогда уравнение примет вид: z² - 6z + 8 = 0.
  • Решаем квадратное уравнение:
    • \[ z = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(8)}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} \]
    • \[ z_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4 \]
    • \[ z_2 = \frac{6 - 2}{2} = 2 \]
  • Возвращаемся к замене:
    • \[ \text{tg} x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \text{arctg}(4) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
    • \[ \text{tg} x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \text{arctg}(2) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]