A5. Упростите выражение \( \frac{(3xy^{-2})^{-4} ∙ 9x^5}{x^{-6}y} \).

Решение:

Для упрощения выражения \( \frac{(3xy^{-2})^{-4} ∙ 9x^5}{x^{-6}y} \) выполним следующие шаги:

1. Раскроем скобки, применяя свойство \( (abc)^n = a^n b^n c^n \) и \( (a^m)^n = a^{mn} \):

   \[ (3xy^{-2})^{-4} = 3^{-4} ∙ x^{-4} ∙ (y^{-2})^{-4} = 3^{-4} ∙ x^{-4} ∙ y^{8} \]

2. Подставим это обратно в числитель:

   \[ 3^{-4} ∙ x^{-4} ∙ y^{8} ∙ 9x^5 \]

3. Объединим члены с одинаковыми основаниями, используя \( a^m ∙ a^n = a^{m+n} \). Заметим, что \( 9 = 3^2 \):

   \[ 3^{-4} ∙ 3^2 ∙ x^{-4} ∙ x^5 ∙ y^{8} \]

   \[ 3^{-4+2} ∙ x^{-4+5} ∙ y^{8} \]

   \[ 3^{-2} ∙ x^1 ∙ y^{8} \]

4. Теперь выражение выглядит так:

   \[ \frac{3^{-2}xy^8}{x^{-6}y} \]

5. Применим свойство деления степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

   \[ 3^{-2} ∙ x^{1 - (-6)} ∙ y^{8-1} \]

   \[ 3^{-2} ∙ x^{1+6} ∙ y^{7} \]

   \[ 3^{-2} ∙ x^7 ∙ y^{7} \]

6. Запишем \( 3^{-2} \) как \( \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \):

   \[ \frac{1}{9} ∙ x^7 ∙ y^{7} = \frac{x^7 y^7}{9} \]

Финальный ответ:

Ответ: \( \frac{x^7 y^7}{9} \)