А5. В прямоугольном треугольнике катет, прилежащий к углу 60°, равен 4 см. Найдите квадрат площади треугольника.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90° \). Дан катет \( AC = 4 \) см, прилежащий к углу \( = 60° \).

В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

\( \tan() = \frac{BC}{AC} \)

\( \tan(60°) = \frac{BC}{4} \)

\( \sqrt{3} = \frac{BC}{4} \)

\( BC = 4\sqrt{3} \) см.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

\( S = \frac{1}{2} \)

\( S = \frac{1}{2} (4\sqrt{3}) \)

\( S = \frac{1}{2} 16\sqrt{3} \)

\( S = 8\sqrt{3} \) см².

Квадрат площади треугольника:

\( S^2 = (8\sqrt{3})^2 = 8^2 (\sqrt{3})^2 = 64 3 = 192 \) см⁴.

Ответ: 192.