А8. С какими из предложенных измерений сторон может существовать треугольник?

Для того, чтобы треугольник существовал, сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны (неравенство треугольника).

Проверим каждую комбинацию:

• 1/2, 3/4, 5/6:

\( \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{2+3}{4} = \frac{5}{4} = 1.25 \). \( \frac{5}{4} > \frac{5}{6} \) (так как \( 1.25 > 0.833... \)).

\( \frac{1}{2} + \frac{5}{6} = \frac{3+5}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \). \( \frac{4}{3} > \frac{3}{4} \) (так как \( 1.333... > 0.75 \)).

\( \frac{3}{4} + \frac{5}{6} = \frac{9+10}{12} = \frac{19}{12} \). \( \frac{19}{12} > \frac{1}{2} \) (так как \( 1.583... > 0.5 \)).

Эта комбинация удовлетворяет неравенству треугольника.

• 1, 2, 3:

\( 1 + 2 = 3 \). Сумма двух сторон равна третьей. Такой треугольник не существует (является вырожденным).

• 2, 3, 4:

\( 2 + 3 = 5 \). \( 5 > 4 \).

\( 2 + 4 = 6 \). \( 6 > 3 \).

\( 3 + 4 = 7 \). \( 7 > 2 \).

Эта комбинация удовлетворяет неравенству треугольника.

• 3, 4, 5:

\( 3 + 4 = 7 \). \( 7 > 5 \).

\( 3 + 5 = 8 \). \( 8 > 4 \).

\( 4 + 5 = 9 \). \( 9 > 3 \).

Эта комбинация удовлетворяет неравенству треугольника.

Ответ: Треугольник может существовать со сторонами 1/2, 3/4, 5/6; 2, 3, 4; 3, 4, 5.