A9. Вычислите значение производной функции y = 1/2 * tg(4x - pi/4) + pi/4 в точке x_0 = pi/4.

Решение:

Для вычисления значения производной функции \( y = \frac{1}{2} \text{tg}(4x - \frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} \) в точке \( x_0 = \frac{\pi}{4} \), сначала найдём производную функции.

1. Производная тангенса \( \text{tg}(u) \) равна \( \frac{1}{\cos^2(u)} \cdot u' \).
2. Производная \( 4x - \frac{\pi}{4} \) равна \( 4 \).
3. Производная константы \( \frac{\pi}{4} \) равна \( 0 \).
4. Таким образом, производная функции \( y \) по \( x \) равна: \[ y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^2(4x - \frac{\pi}{4})} \cdot 4 = \frac{2}{\cos^2(4x - \frac{\pi}{4})} \]
5. Теперь подставим значение \( x_0 = \frac{\pi}{4} \) в производную: \[ y'( \frac{\pi}{4} ) = \frac{2}{\cos^2(4 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4})} = \frac{2}{\cos^2(\pi - \frac{\pi}{4})} = \frac{2}{\cos^2(\frac{3\pi}{4})} \]
6. Значение \( \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
7. Тогда \( \cos^2(\frac{3\pi}{4}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).
8. Подставляем это значение обратно: \[ y'( \frac{\pi}{4} ) = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 2 = 4 \]

Ответ: 4