А9. Вычислите значение производной функции y = 1/2 * tg(4x - pi) + pi/4 в точке x_0 = pi/4.

Решение:

1. Найдем производную функции \( y = \frac{1}{2} \text{tg}(4x - \pi) + \frac{\pi}{4} \).

Производная от \( \text{tg}(u) \) равна \( \frac{1}{\cos^2(u)} \cdot u' \). В нашем случае \( u = 4x - \pi \), поэтому \( u' = 4 \).

\( y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^2(4x - \pi)} \cdot 4 + 0 \)

\( y' = \frac{2}{\cos^2(4x - \pi)} \)

2. Подставим значение \( x_0 = \frac{\pi}{4} \) в производную.

\( y'(\frac{\pi}{4}) = \frac{2}{\cos^2(4 \cdot \frac{\pi}{4} - \pi)} \)

\( y'(\frac{\pi}{4}) = \frac{2}{\cos^2(\pi - \pi)} \)

\( y'(\frac{\pi}{4}) = \frac{2}{\cos^2(0)} \)

Так как \( \cos(0) = 1 \), то \( \cos^2(0) = 1^2 = 1 \).

\( y'(\frac{\pi}{4}) = \frac{2}{1} = 2 \)

Ответ: 2