Сначала упростим выражение:
$$ (a-2)(a-3) - (a-5)(a-4) = a^2 - 3a - 2a + 6 - (a^2 - 4a - 5a + 20) = a^2 - 5a + 6 - a^2 + 9a - 20 = 4a - 14 $$
Теперь подставим значение $$a = 1 \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$$ в упрощенное выражение:
$$ 4 \cdot \frac{5}{4} - 14 = 5 - 14 = -9 $$
Ответ: -9