Решение:

Пусть O - центр окружности, а K - точка пересечения AB и окружности. OK перпендикулярно AB (свойство касательной).

Обозначим BC за x. Тогда BK = BC + CK = x + 4.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OBA. По теореме Пифагора:

$$OB^2 = OA^2 + AB^2$$

Где:

• OB = OC + BC = 3 + x
• OA = OC = 3 (радиус окружности)
• AB = AK + KB

Выразим AK через теорему о касательной и секущей:

$$AK^2 = KC * BC$$

$$AK^2 = 4x$$

$$AK = \sqrt{4x} = 2\sqrt{x}$$

Тогда AB = 2\sqrt{x} + x + 4

Подставим все в теорему Пифагора:

$$(3+x)^2 = 3^2 + (2\sqrt{x} + x + 4)^2$$

$$9 + 6x + x^2 = 9 + 4x + x^2 + 16 + 4x\sqrt{x} + 8\sqrt{x} + 2x^2 + 8x$$

Упростим уравнение:

$$0 = x^2 + 6x + 16 + 4x\sqrt{x} + 8\sqrt{x}$$

$$0 = x^2 + 6x + 16 + 4\sqrt{x}(x + 2)$$

Получилось сложное уравнение, попробуем решить другим способом.

В прямоугольном треугольнике OKB: OK^2 + KB^2 = OB^2

OK = 3 (радиус), KB = x + 4, OB = 3 + x. Подставим значения:

$$3^2 + (x+4)^2 = (x+3)^2$$

$$9 + x^2 + 8x + 16 = x^2 + 6x + 9$$

$$x^2 - x^2 + 8x - 6x = 9 - 9 - 16$$

$$2x = -16$$

$$x = -8$$

Получили отрицательное значение для BC, что невозможно. Значит, где-то ошибка в рассуждениях.

Рассмотрим треугольник OBA. $$OB^2 = OA^2 + AB^2$$

Применим теорему о касательной и секущей: $$AB^2 = BC * (BC + 2*OC)$$.

Пусть BC = x. Тогда: AB^2 = x * (x + 6)

Также, OB = OC + BC = 3 + x

Тогда: $$(3+x)^2 = 3^2 + x(x+6)$$

$$9 + 6x + x^2 = 9 + x^2 + 6x$$

$$9 + 6x + x^2 - 9 - x^2 - 6x = 0$$

$$0 = 0$$

Не дает решения

AB касательная, OK - радиус, проведенный в точку касания. Значит, угол OKB = 90 градусов.

$$OB^2 = OK^2 + KB^2$$

$$ (OC + CB)^2 = OK^2 + (CK + CB)^2$$

Пусть CB = x, тогда:

$$ (3 + x)^2 = 3^2 + (4 + x)^2$$

$$9 + 6x + x^2 = 9 + 16 + 8x + x^2$$

$$6x + x^2 = 16 + 8x + x^2$$

$$2x = -16$$

$$x = -8$$

BC = 5