AB = BC = AC, BD - ?

Рассмотрим рисунок. Из условия задачи следует, что AB = BC = AC. Это означает, что треугольник ABC - равносторонний. Следовательно, все его углы равны 60 градусам.

Также, точка O является центром окружности, а значит, OB и OC - радиусы этой окружности, и OB = OC. В равностороннем треугольнике ABC, центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, биссектрис и высот.

Поскольку OB - радиус окружности, и OC - радиус окружности, то OB = OC. Угол BOC является центральным углом, опирающимся на дугу BC. Так как треугольник ABC равносторонний, то угол BAC = 60 градусов. Центральный угол BOC в два раза больше вписанного угла BAC, опирающегося на ту же дугу. Таким образом, угол BOC = 2 * угол BAC = 2 * 60 = 120 градусов.

Рассмотрим треугольник BOC. Он является равнобедренным, так как OB = OC. Следовательно, углы OBC и OCB равны. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, поэтому угол OBC = угол OCB = (180 - 120) / 2 = 30 градусов.

По условию, отрезок OD имеет длину 10. Так как AB = BC = AC, то AC является диаметром окружности, а D лежит на окружности. Следовательно, угол ADC - прямой (90 градусов), так как опирается на диаметр. Значит, треугольник ADC - прямоугольный.

Рассмотрим треугольник BDC. Угол DBC = угол ABC - угол OBC = 60 - 30 = 30 градусов.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BDA. Угол DBA = 30 градусов, значит, угол DAB = 60 градусов, а угол ADB = 90 градусов. Треугольник BDA – прямоугольный. Т.к. угол DBA равен 30°, катет AD, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы AB. Значит, AD = AB / 2.

Треугольник ABC – равносторонний, поэтому AB = BC = AC. Так как OC – радиус окружности, то AC = 2 * OC. Также, по условию, OC = 10. Тогда AC = 2 * 10 = 20. Значит, AB = 20, AD = 20 / 2 = 10.

BD можно найти по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника BDA: $$BD^2 + AD^2 = AB^2$$

$$BD^2 = AB^2 - AD^2 = 20^2 - 10^2 = 400 - 100 = 300$$

$$BD = \sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}$$

Ответ: $$10\sqrt{3}$$