2. AB и BC - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром O радиуса 10 см. Найдите периметр четырехугольника ABCO, если \(\angle AOC = 120^\circ\).

Давайте решим эту задачу по шагам: 1. Понимание условия задачи: * У нас есть окружность с центром в точке O и радиусом 10 см. * AB и BC - касательные к этой окружности. * Нам нужно найти периметр четырехугольника ABCO, зная, что угол \(\angle AOC = 120^\circ\). 2. Основные свойства касательных: * Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Следовательно, \(\angle OAB = 90^\circ\) и \(\angle OCB = 90^\circ\). 3. Анализ четырехугольника ABCO: * ABCO - четырехугольник, у которого два угла прямые (\(\angle OAB\) и \(\angle OCB\)), и известен угол \(\angle AOC = 120^\circ\). * Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Следовательно, \(\angle ABC = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). 4. Рассмотрим треугольники OAB и OBC: * Эти треугольники прямоугольные и равны (по катету и острому углу: OA = OC = радиус, OB - общая сторона). * Следовательно, \(\angle ABO = \angle CBO = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} cdot 60^\circ = 30^\circ\). 5. Найдем длины сторон AB и BC: * В прямоугольном треугольнике OAB: \(\tan(\angle ABO) = \frac{OA}{AB}\). * Тогда \(AB = \frac{OA}{\tan(\angle ABO)} = \frac{10}{\tan(30^\circ)} = \frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}\). * Так как треугольники OAB и OBC равны, то AB = BC = \(10\sqrt{3}\). 6. Вычисление периметра четырехугольника ABCO: * Периметр P = OA + AB + BC + OC = 10 + \(10\sqrt{3}\) + \(10\sqrt{3}\) + 10 = 20 + \(20\sqrt{3}\). * Приближенное значение: \(20 + 20 cdot 1.732 \approx 20 + 34.64 = 54.64\) см. Ответ: Периметр четырехугольника ABCO равен \(20 + 20\sqrt{3}\) см, что приблизительно равно 54.64 см.