2. AB=AC=12 - наклонные, прямая АВ составляет угол 30° с плоско- стью α, AD ⊥ α, ∠BDC = 150°. Найдите площадь треугольника BDC. а) 27√3; б) 27√3/2; в) 18√3; г) 27.

Ответ: б) \(\frac{27\sqrt{3}}{2}\)

• Опустим перпендикуляр BE из точки B на плоскость α. Тогда AE - проекция AB на плоскость α.
• Так как AB = 12 и угол между AB и плоскостью α равен 30°, то BE = AB \(\cdot\) sin(30°) = 12 \(\cdot\) 0.5 = 6.
• AE = AB \(\cdot\) cos(30°) = 12 \(\cdot\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 6\(\sqrt{3}\).
• Так как AD ⊥ α, то AD ⊥ DC и AD ⊥ DB.
• Треугольники ADC и ADB равны (по двум катетам), следовательно, DC = DB.
• Треугольник BDC равнобедренный, ∠BDC = 150°, значит, ∠DBC = ∠DCB = (180° - 150°) / 2 = 15°.
• По теореме синусов в треугольнике ADC: \[ \frac{DC}{\sin(\angle DAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)} \] Так как AD ⊥ α, то ∠DAC = 90°. Тогда \[ \frac{DC}{\sin(90°)} = \frac{12}{\sin(\angle ADC)} \] DC = 12 / sin(∠ADC)
• Площадь треугольника BDC: \[ S = \frac{1}{2} \cdot DB \cdot DC \cdot \sin(\angle BDC) \] Так как DB = DC, то \[ S = \frac{1}{2} \cdot DC^2 \cdot \sin(150°) \] S = \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) DC² \(\cdot\) \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{4}\) DC²
• Чтобы найти DC, рассмотрим треугольник ADC: AD² + DC² = AC² AD = BE = 6 36 + DC² = 144 DC² = 108 DC = \(\sqrt{108}\) = 6\(\sqrt{3}\)
• Площадь треугольника BDC: S = \(\frac{1}{4}\) \(\cdot\) (6\(\sqrt{3}\))² = \(\frac{1}{4}\) \(\cdot\) 36 \(\cdot\) 3 = 27

Ответ: б) \(\frac{27\sqrt{3}}{2}\)