ABC uchburchakda AC=√27, AB=√18 va LABC = 120° boʻlsa, ACB burchakning kosinusini toping.

Треугольник ABC, AC=√27, AB=√18 и угол ABC = 120°, найдите косинус угла ACB. Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов и свойствами треугольников. 1. Запишем теорему косинусов для стороны AC: $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 cdot AB cdot BC cdot \cos(ABC)$$ 2. Подставим известные значения: $$(\sqrt{27})^2 = (\sqrt{18})^2 + BC^2 - 2 \cdot \sqrt{18} \cdot BC \cdot \cos(120^\circ)$$ 3. Упростим выражение, учитывая, что $$\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$$: $$27 = 18 + BC^2 - 2 \cdot \sqrt{18} \cdot BC \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$$ $$27 = 18 + BC^2 + \sqrt{18} \cdot BC$$ 4. Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно BC: $$BC^2 + \sqrt{18} \cdot BC - 9 = 0$$ 5. Решим квадратное уравнение. Сначала упростим $$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$: $$BC^2 + 3\sqrt{2} \cdot BC - 9 = 0$$ 6. Применим формулу дискриминанта: $$D = (3\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 18 + 36 = 54$$ 7. Найдем корни квадратного уравнения: $$BC = \frac{-3\sqrt{2} \pm \sqrt{54}}{2} = \frac{-3\sqrt{2} \pm 3\sqrt{6}}{2}$$ Так как длина стороны не может быть отрицательной, выберем положительное значение: $$BC = \frac{-3\sqrt{2} + 3\sqrt{6}}{2}$$ 8. Теперь, когда мы знаем все три стороны треугольника, применим теорему косинусов для угла ACB: $$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(ACB)$$ 9. Выразим $$\cos(ACB)$$: $$\cos(ACB) = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC}$$ 10. Подставим известные значения: $$\cos(ACB) = \frac{27 + \left(\frac{-3\sqrt{2} + 3\sqrt{6}}{2}\right)^2 - 18}{2 \cdot \sqrt{27} \cdot \frac{-3\sqrt{2} + 3\sqrt{6}}{2}}$$ 11. Упростим выражение: $$\cos(ACB) = \frac{9 + \frac{18 - 36\sqrt{3} + 54}{4}}{3\sqrt{3} \cdot (-3\sqrt{2} + 3\sqrt{6})/2} = \frac{9 + \frac{72 - 36\sqrt{3}}{4}}{\sqrt{3} \cdot (-3\sqrt{2} + 3\sqrt{6})}$$ $$\cos(ACB) = \frac{9 + 18 - 9\sqrt{3}}{3\sqrt{3} \cdot (-\sqrt{2} + \sqrt{6})} = \frac{27 - 9\sqrt{3}}{-9\sqrt{6} + 9\sqrt{18}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{-\sqrt{6} + 3\sqrt{2}}$$ 12. Приведем к общему знаменателю, избавившись от иррациональности в знаменателе: $$\cos(ACB) = \frac{(3 - \sqrt{3})(-\sqrt{6} - 3\sqrt{2})}{(-\sqrt{6} + 3\sqrt{2})(-\sqrt{6} - 3\sqrt{2})} = \frac{-3\sqrt{6} - 9\sqrt{2} + \sqrt{18} + 3\sqrt{6}}{6 - 18} = \frac{-9\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{-12} = \frac{-6\sqrt{2}}{-12} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ Ответ: $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$