ABCD – прямоугольник, BK : OC = 1 : 2. AC = 10 см. Найдите CD.

Рассмотрим прямоугольник ABCD. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, значит:

AO = OC = AC/2 = 10/2 = 5 см.

По условию BK : OC = 1 : 2, откуда BK = OC/2 = 5/2 = 2,5 см.

Пусть OK = x, тогда BO = BK + OK = 2,5 + x.

Так как диагонали точкой пересечения делятся пополам, то BO = AO, следовательно:

2,5 + x = 5,

x = 5 – 2,5 = 2,5 см.

OK = BK = 2,5 см, значит, треугольник ABK — равнобедренный, следовательно, углы при основании AK равны.

С другой стороны, диагонали прямоугольника равны, значит, треугольник ABD — равнобедренный, откуда углы при основании AD тоже равны. Имеем ∠BAK = ∠BKA, ∠ABD = ∠ADB.

Треугольники ABK и ABD подобны по двум углам. В подобных треугольниках соответствующие стороны пропорциональны. Следовательно, AK/AD = BK/BD.

AD = BC, BD = AC = 10 см. Подставим известные значения в пропорцию:

AK/BC = 2,5/10,

AK/BC = 1/4, откуда BC = 4 × AK.

В прямоугольном треугольнике AKB по теореме Пифагора:

AB² = AK² + BK²,

AB² = AK² + 2,5².

В прямоугольном треугольнике ABC по теореме Пифагора:

AC² = AB² + BC²,

10² = AB² + (4 × AK)²,

100 = AK² + 2,5² + 16 × AK²,

17 × AK² = 100 – 6,25,

17 × AK² = 93,75,

AK² = 93,75/17 ≈ 5,51,

AK ≈ √5,51 ≈ 2,35 см.

BC = 4 × AK = 4 × 2,35 ≈ 9,41 см.

В прямоугольном треугольнике ABC по теореме Пифагора:

AB² = AC² – BC²,

AB² = 10² – 9,41² = 100 – 88,55 = 11,45,

AB ≈ √11,45 ≈ 3,38 см.

CD = AB ≈ 3,38 см.

Ответ: 3,38