3. ABCD – ромб. Найдите его периметр. a) б) в)

a) Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOD, где угол AOD = 90°, угол ADO = 60°, OD = 8. $$AD = \frac{OD}{\sin{DAO}} = \frac{8}{\sin{60°}} = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$$. Периметр ромба равен $$4AD = 4 \cdot \frac{16\sqrt{3}}{3} = \frac{64\sqrt{3}}{3}$$. б) Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Угол A = 30° \cdot 2 = 60°. Следовательно, угол B = 180° - 60° = 120°. Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом. Треугольник AOB - прямоугольный, где угол OAB = 30°, угол AOB = 90°, следовательно, угол ABO = 60°. Сторона AB = AO/cos(30°). Не достаточно данных для решения задачи. в) Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом. Рассмотрим треугольник AOD, где угол AOD = 90°, AO = 10. Угол A = 120°/2 = 60°. Следовательно, угол D = (180 - 120)/2 = 30°. $$AD = \frac{AO}{\sin{ADO}} = \frac{10}{\sin{30°}} = \frac{10}{\frac{1}{2}} = 20$$. Периметр ромба равен $$4AD = 4 \cdot 20 = 80$$.