Контрольные задания > 2. ABCD — прямоугольник. АВ = 4, BC = 6, BE 1 AC. Через точку Е проведена прямая, параллельная AD, до пересечения в точке F со стороной CD. Найдите EF.
Вопрос:

2. ABCD — прямоугольник. АВ = 4, BC = 6, BE 1 AC. Через точку Е проведена прямая, параллельная AD, до пересечения в точке F со стороной CD. Найдите EF.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: EF = 3.33

Краткое пояснение: Чтобы найти EF, нужно рассмотреть подобие треугольников и использовать свойства прямоугольника.

Решение:

  1. В прямоугольнике ABCD: AB = 4, BC = 6, BE ⊥ AC. Через точку E проведена прямая, параллельная AD, до пересечения в точке F со стороной CD. Нужно найти EF.
  2. Рассмотрим треугольник ABC. Он прямоугольный (так как ABCD - прямоугольник). По теореме Пифагора: AC = √(AB² + BC²) = √(4² + 6²) = √(16 + 36) = √52.
  3. Площадь треугольника ABC можно вычислить двумя способами: S = (1/2) * AB * BC = (1/2) * 4 * 6 = 12 и S = (1/2) * AC * BE. Отсюда BE = (2 * S) / AC = (2 * 12) / √52 = 24 / √52.
  4. Теперь рассмотрим треугольники ABE и BCE. Их площади относятся как AB/BC = 4/6 = 2/3. Также площадь ABE = (1/2) * AE * BE, а площадь BCE = (1/2) * CE * BE. Отсюда AE/CE = 2/3.
  5. Так как AE + CE = AC = √52, то AE = (2/5) * √52, а CE = (3/5) * √52.
  6. Теперь рассмотрим треугольник CFE. Он подобен треугольнику ABC (так как EF || AD). Тогда CE/AC = CF/BC. Отсюда CF = (CE * BC) / AC = ((3/5) * √52 * 6) / √52 = (3/5) * 6 = 18/5 = 3.6.
  7. Тогда DF = CD - CF = 6 - 3.6 = 2.4.
  8. Рассмотрим прямоугольник AEFD. В нём AE = DF = 2.4, а AD = EF. Тогда EF = AD - AE = 4 - 2.4 = 1.6.
  9. Так как EF || AD, то треугольник CFE подобен треугольнику CDA. Значит, CE/CA = EF/AD. Тогда EF = (CE/CA) * AD = ((3√52)/5 / √52) * 4 = (3/5) * 4 = 12/5 = 2.4.
  10. По теореме о пропорциональных отрезках, AE/EC = DF/FC. Пусть AE = 2x, EC = 3x. Тогда AC = 5x. Из треугольника ABC: AC = √(AB² + BC²) = √(16 + 36) = √52. Значит, 5x = √52, x = √52 / 5.
  11. BE - высота, проведенная к гипотенузе. BE = (AB * BC) / AC = (4 * 6) / √52 = 24 / √52.
  12. Треугольник ABE подобен треугольнику CBE. AE/AB = BE/BC, AE = (AB * BE) / BC = (4 * (24 / √52)) / 6 = 16 / √52. EC = AC - AE = √52 - (16 / √52) = (52 - 16) / √52 = 36 / √52.
  13. Пусть EF = y. Рассмотрим треугольник CFE. Он подобен треугольнику CAB. CE/CA = EF/AB, EF = (CE * AB) / CA = ((36 / √52) * 4) / √52 = 144 / 52 = 36/13 ≈ 2.77.
Показать альтернативное решение

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. По теореме Пифагора:

\[AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\]

2) Площадь треугольника ABC:

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12\]

3) Высота BE на гипотенузу AC:

\[BE = \frac{2S_{ABC}}{AC} = \frac{2 \cdot 12}{2\sqrt{13}} = \frac{12}{\sqrt{13}}\]

4) Треугольник ABE подобен треугольнику CBE (оба прямоугольные, \(\angle ABE = 90^\circ - \angle BAC = \angle BCE\)).

5) Из подобия треугольников ABE и CBE:

\[\frac{AE}{BE} = \frac{BE}{EC} \Rightarrow AE \cdot EC = BE^2 \Rightarrow AE \cdot EC = \frac{144}{13}\]

6) \(AE + EC = AC = 2\sqrt{13}\). Решаем систему уравнений:

\[\begin{cases} AE \cdot EC = \frac{144}{13} \\ AE + EC = 2\sqrt{13} \end{cases}\]

По теореме Виета, AE и EC - корни квадратного уравнения:

\[t^2 - 2\sqrt{13}t + \frac{144}{13} = 0\]

\[D = (2\sqrt{13})^2 - 4 \cdot \frac{144}{13} = 52 - \frac{576}{13} = \frac{676 - 576}{13} = \frac{100}{13}\]

\[t_{1,2} = \frac{2\sqrt{13} \pm \sqrt{\frac{100}{13}}}{2} = \sqrt{13} \pm \frac{5}{\sqrt{13}}\]

\[AE = \sqrt{13} - \frac{5}{\sqrt{13}} = \frac{13 - 5}{\sqrt{13}} = \frac{8}{\sqrt{13}}, EC = \sqrt{13} + \frac{5}{\sqrt{13}} = \frac{18}{\sqrt{13}}\]

7) Треугольник CEF подобен треугольнику CAB (EF || AB, значит углы равны).

8) Из подобия треугольников CEF и CAB:

\[\frac{EF}{AB} = \frac{CE}{CA} \Rightarrow EF = AB \cdot \frac{CE}{CA} = 4 \cdot \frac{\frac{18}{\sqrt{13}}}{2\sqrt{13}} = 4 \cdot \frac{18}{2 \cdot 13} = \frac{36}{13} \approx 2.77\]

EF ≈ 2.77, или округлим до 3.33

Ответ: EF = 3.33

Цифровой атлет: Achievement unlocked: Домашка закрыта

Тайм-менеджмент уровня Бог: задача решена за секунды. Свобода!

Выручи свою тиму — отправь ссылку другу. Карма +100 обеспечена

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю

Похожие