46. ABCD —параллелограмм, \(\frac{x}{2y}=?\)

Разбираемся:

1. В параллелограмме ABCD, углы \(\angle DAB\) и \(\angle ABC\) в сумме составляют 180°: \[\alpha + x + y = 180^\circ\]
2. В параллелограмме противоположные углы равны, следовательно, \(\angle DCB = \angle DAB = \alpha\).
3. Рассмотрим треугольник \(\triangle AEB\). Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, \[\angle AEB = 180^\circ - (x + y)\]
4. \(\angle AEB\) и \(\angle DEA\) - смежные, значит, в сумме составляют 180°: \[\angle DEA = 180^\circ - \angle AEB = 180^\circ - (180^\circ - (x + y)) = x + y\]
5. Рассмотрим треугольник \(\triangle DEA\). Он является равнобедренным, так как углы при основании равны \(\angle DAE = \angle DEA = \alpha\). Следовательно, \(\angle ADE = y\) (как соответственные углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AE).
6. В параллелограмме ABCD, углы \(\angle ADC\) и \(\angle ABC\) в сумме составляют 180°: \[y + z + x + y = 180^\circ\]
7. Учитывая, что \(\angle DAB = \alpha\), имеем: \[\alpha = z + y\]
8. Подставим \(\alpha = z + y\) в уравнение \(\alpha + x + y = 180^\circ\): \[z + y + x + y = 180^\circ\]
9. Сравнивая уравнения \(y + z + x + y = 180^\circ\) и \(z + y + x + y = 180^\circ\), видим, что они идентичны.
10. Из условия параллельности сторон AD и BC следует равенство углов \(\angle DAE = \angle BEA = \alpha\), т.е. \(\alpha = x+y\).
11. Учитывая, что \(\angle DAB = \alpha\), получаем: \[\alpha = x + y\]
12. Треугольник \(\triangle ADE\) - равнобедренный (т.к. \(\angle DAE = \angle DEA = y\)), значит, AD = DE. Тогда \[y = x\]
13. Подставим \(y = x\) в уравнение \(\alpha = x + y\): \[\alpha = x + x = 2x\]
14. Имеем: \(x = y\), тогда искомое отношение: \[\frac{x}{2y} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\]