1. ABCD - параллелограмм. Найдите угол, обозначенный знаком вопроса. 2. ABCD — прямоугольник. Найдите: a) $$P_{COD}$$; б) $$P_{AOD}$$, если $$BD = 15$$; в) $$AD$$, если $$P_{AOB} = 25$$, $$P_{ACD} = 40$$.

1. a) Сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно, угол \(\angle BAC = 35^\circ + 25^\circ = 60^\circ\). У параллелограмма противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Тогда искомый угол \(\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). б) У параллелограмма противоположные стороны параллельны, а накрест лежащие углы равны. Значит, \(\angle CDB = \angle DBA = 40^\circ\). Сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно, искомый угол \(\angle CBD = 180^\circ - \angle CDB - \angle BCD = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ\). в) Сумма углов в треугольнике равна 180°. \(\angle D = 120^\circ\). Значит, \(\angle CDK = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). \(\angle CKD = 90^\circ\). Следовательно, искомый угол \(\angle DCK = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\). 2. a) Так как ABCD - прямоугольник, то диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, \(CO = OD\). Треугольник COD - равнобедренный. \(\angle COD = 90^\circ\), следовательно, \(\angle OCD = \angle ODC = (180^\circ - 90^\circ) \div 2 = 45^\circ\). Периметр \(P_{COD} = CO + OD + CD\). Так как диагонали прямоугольника равны, то \(AC = BD\) и \(CO = OD = BD \div 2 = 15 \div 2 = 7.5\). Чтобы найти CD, воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника COD: \(CD^2 = CO^2 + OD^2 = 7.5^2 + 7.5^2 = 2 \cdot 7.5^2 = 112.5\). \(CD = \sqrt{112.5} \approx 10.61\). Тогда, \(P_{COD} = 7.5 + 7.5 + 10.61 = 25.61\). б) Площадь треугольника AOD равна половине произведения его основания на высоту. Поскольку диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, AO = OD = BD / 2 = 15 / 2 = 7.5. Тогда, \(P_{AOD} = AO + OD + AD = 7.5 + 7.5 + AD = 15 + AD\). в) Пусть сторона AD = x. Тогда сторона AB = (P(ACD) - 2 \cdot AD) / 2 = (40 - 2x) / 2 = 20 - x. Периметр треугольника AOB равен AO + OB + AB. Так как AO = OB (половины диагоналей), то AO = OB = AC / 2. Периметр треугольника равен 25, следовательно, 2AO + AB = 25. Диагональ AC в прямоугольнике равна диагонали BD, то есть AC = 15, тогда AO = AC / 2 = 15 / 2 = 7.5. 2AO + AB = 25 => 2 \cdot 7.5 + AB = 25 => 15 + AB = 25 => AB = 10. Поскольку AB = 20 - x, то 20 - x = 10, отсюда x = 10. Ответ: AD = 10.