ABCD параллелограмм. A(6; 0; 0), B(0; 6; 0), C(0; 0; 6). Найдите координаты точки D(x; y; z). Докажите, что ABCD — ромб.

В параллелограмме диагонали имеют общую середину, поэтому \(A+C=B+D\), откуда

\[D=A+C-B=(6;0;0)+(0;0;6)-(0;6;0)=(6;-6;6).\]

Проверим длины сторон по формуле расстояния:

\[AB=\sqrt{(-6)^2+6^2+0^2}=6\sqrt2,\quad BC=\sqrt{0^2+(-6)^2+6^2}=6\sqrt2.\]

\[CD=\sqrt{6^2+(-6)^2+0^2}=6\sqrt2,\quad DA=\sqrt{0^2+6^2+(-6)^2}=6\sqrt2.\]

Все четыре стороны параллелограмма равны, следовательно, он является ромбом.

Ответ: \(D(6;-6;6)\); \(ABCD\) — ромб.