3. ABCDABCD, - прямоугольный параллелепипед. а) Найдите длину ломаной DCC₁B₁A₁, если AB = 2 см, BC = 2-AB, A₁A = 3 см. б) Найдите площадь грани CCD₁D. Укажите грань параллелепипеда, которая имеет такую же площадь. в) Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда. г) Какой длины понадобиться проволока, чтобы изготовить каркасную модель такого параллелепипеда?

a) Найдем длину ломаной DCC₁B₁A₁.

Дано: $$AB = 2$$ см, $$BC = 2 \cdot AB$$, $$A_1A = 3$$ см.

Следовательно: $$BC = 2 \cdot 2 = 4$$ см.

Так как $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ - прямоугольный параллелепипед, то $$CC_1 = AA_1 = 3$$ см, $$C_1B_1 = BC = 4$$ см, $$B_1A_1 = AB = 2$$ см.

Длина ломаной $$DCC_1B_1A_1$$ равна сумме длин её звеньев: $$DCC_1 + C_1B_1 + B_1A_1 = 3 + 4 + 2 = 9$$ см.

Ответ: 9 см.

б) Найдем площадь грани $$CC_1D_1D$$.

Грань $$CC_1D_1D$$ - прямоугольник со сторонами $$CD = AB = 2$$ см и $$CC_1 = A_1A = 3$$ см.

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон: $$S_{CC_1D_1D} = CD \cdot CC_1 = 2 \cdot 3 = 6$$ см².

Грань $$AA_1B_1B$$ имеет такую же площадь.

Ответ: 6 см², грань $$AA_1B_1B$$

в) Найдем площадь полной поверхности параллелепипеда.

Площадь полной поверхности параллелепипеда равна сумме площадей всех его граней:

$$S = 2(S_{ABCD} + S_{AA_1B_1B} + S_{BCC_1B_1})$$

$$S_{ABCD} = AB \cdot BC = 2 \cdot 4 = 8$$ см².

$$S_{AA_1B_1B} = AA_1 \cdot AB = 3 \cdot 2 = 6$$ см².

$$S_{BCC_1B_1} = BC \cdot CC_1 = 4 \cdot 3 = 12$$ см².

$$S = 2(8 + 6 + 12) = 2 \cdot 26 = 52$$ см².

Ответ: 52 см².

г) Найдем длину проволоки, необходимую для изготовления каркасной модели параллелепипеда.

Для изготовления каркасной модели параллелепипеда потребуется проволока, суммарная длина которой равна сумме длин всех его ребер.

У параллелепипеда 4 ребра длиной $$AB$$, 4 ребра длиной $$BC$$ и 4 ребра длиной $$AA_1$$.

Суммарная длина проволоки: $$L = 4(AB + BC + AA_1) = 4(2 + 4 + 3) = 4 \cdot 9 = 36$$ см.

Ответ: 36 см.