AC и BC - касательные к окружности с центром O. ∠BCO = 27°. Найдите ∠AOC.

Давай решим эту задачу по геометрии вместе!

Дано:

• AC и BC – касательные к окружности с центром O.
• ∠BCO = 27°.

Найти:

• ∠AOC.

Решение:

1. Свойство касательной: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Следовательно, ∠OBA = 90° и ∠OCA = 90°.

2. Рассмотрим четырехугольник OBCA. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Значит:

   $$∠OBA + ∠BCA + ∠CAO + ∠AOB = 360°$$

3. Выразим угол ∠BCA. Так как ∠BCO = 27° и AC = BC (отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны), то треугольник ABC — равнобедренный. Следовательно, CO - биссектриса угла ∠BCA, а значит, ∠BCA = 2 * ∠BCO = 2 * 27° = 54°.

4. Теперь подставим известные значения в уравнение из пункта 2:

   $$90° + 54° + 90° + ∠AOB = 360°$$

   $$234° + ∠AOB = 360°$$

   $$∠AOB = 360° - 234° = 126°$$

5. Теперь рассмотрим треугольник AOC. Он равнобедренный, так как OA = OC (радиусы окружности). Следовательно, углы при основании равны: ∠OAC = ∠OCA.

6. Сумма углов в треугольнике AOC равна 180°:

   $$∠AOC + ∠OAC + ∠OCA = 180°$$

7. Выразим ∠OAC и ∠OCA через ∠AOC. Так как ∠OAC = ∠OCA, то:

   $$∠AOC + 2 * ∠OAC = 180°$$

   $$2 * ∠OAC = 180° - ∠AOC$$

   $$∠OAC = (180° - ∠AOC) / 2$$

8. Рассмотрим угол ∠OAC. Он является частью угла ∠BAC, который равен 90° (касательная перпендикулярна радиусу). Тогда:

   $$∠OAC = 90° - ∠BAO$$

   И так как ∠OCA = 90° - ∠BCO

   $$∠OCA = 90° - 27°=63°$$

9. Тогда

   $$∠AOC = 180°-63°-63°=54°$$

Ответ: ∠AOC = 54°