AC и BD — диаметры окружности с центром О. Угол ACB равен 78°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Дано, что AC и BD — диаметры окружности с центром O. Это означает, что точки A, B, C, D лежат на окружности, а AC и BD проходят через центр O.

Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Следовательно, центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен удвоенному вписанному углу.

Центральный угол, опирающийся на дугу AB, — это \( \angle AOB \).

\( \angle AOB = 2 \cdot \angle ACB \)

Подставим данное значение \( \angle ACB = 78^{\circ} \):

\( \angle AOB = 2 \cdot 78^{\circ} = 156^{\circ} \)

Углы AOD и AOB являются смежными, так как они образуют развернутый угол ABD (или ACD, если AC - диаметр). Но AC и BD - диаметры, поэтому они пересекаются в центре O.

Углы AOD и BOC являются вертикальными, значит \( \angle AOD = \angle BOC \).

Углы AOB и BOC являются смежными, их сумма равна \( 180^{\circ} \) (так как AC — диаметр).

\( \angle AOB + \angle BOC = 180^{\circ} \)

\( 156^{\circ} + \angle BOC = 180^{\circ} \)

\( \angle BOC = 180^{\circ} - 156^{\circ} = 24^{\circ} \)

Так как \( \angle AOD \) и \( \angle BOC \) — вертикальные углы, то:

\( \angle AOD = \angle BOC = 24^{\circ} \)

Ответ: \( \angle AOD = 24^{\circ} \).