11*. AC₁ - куб. AB = a. Найдите R_AA1C1.

Радиус окружности, описанной около треугольника AA1C1, можно найти по формуле: $$R = \frac{abc}{4S}$$, где a, b, c – стороны треугольника, S – площадь треугольника. В нашем случае, AA1 = a, A1C1 = a$$\sqrt{2}$$, AC1 = a$$\sqrt{3}$$. Площадь треугольника AA1C1 равна половине произведения катетов: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a\sqrt{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}$$. Подставляем все в формулу: $$R = \frac{a \cdot a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{3}}{4 \cdot \frac{a^2\sqrt{2}}{2}} = \frac{a^3\sqrt{6}}{2a^2\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$. Ответ: $$R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$.