Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 60% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 70% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 65% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение:

Пусть событие A — яйцо высшей категории.

Пусть событие H1 — яйцо из первого хозяйства.

Пусть событие H2 — яйцо из второго хозяйства.

Из условия известно:

• \( P(A|H1) = 0.60 \) (вероятность яйца высшей категории при условии, что оно из первого хозяйства)
• \( P(A|H2) = 0.70 \) (вероятность яйца высшей категории при условии, что оно из второго хозяйства)
• \( P(A) = 0.65 \) (общая вероятность яйца высшей категории)

Мы хотим найти \( P(H1|A) \) (вероятность того, что яйцо из первого хозяйства, при условии, что оно высшей категории).

По теореме Байеса:

\[ P(H1|A) = \frac{P(A|H1) \cdot P(H1)}{P(A)} \]

Нам неизвестны \( P(H1) \) и \( P(H2) \). Однако, мы знаем, что \( P(H1) + P(H2) = 1 \).

Также, по формуле полной вероятности:

\[ P(A) = P(A|H1)P(H1) + P(A|H2)P(H2) \]

Подставим известные значения:

\[ 0.65 = 0.60 \cdot P(H1) + 0.70 \cdot P(H2) \]

Заменим \( P(H2) = 1 - P(H1) \):

\[ 0.65 = 0.60 \cdot P(H1) + 0.70 \cdot (1 - P(H1)) \]

\[ 0.65 = 0.60 P(H1) + 0.70 - 0.70 P(H1) \]

\[ 0.65 - 0.70 = (0.60 - 0.70) P(H1) \]

\[ -0.05 = -0.10 P(H1) \]

\[ P(H1) = \frac{-0.05}{-0.10} = 0.5 \]

Теперь, когда мы знаем \( P(H1) = 0.5 \), мы можем найти \( P(H1|A) \) по теореме Байеса:

\[ P(H1|A) = \frac{P(A|H1) \cdot P(H1)}{P(A)} = \frac{0.60 \cdot 0.5}{0.65} = \frac{0.30}{0.65} \]

\[ P(H1|A) = \frac{30}{65} = \frac{6}{13} \]

Приблизительное значение: \( 6 / 13 ≈ 0.4615 \).

Ответ: 6/13