AH — высота прямоугольного треугольника ABC, проведённая из вершины прямого угла А. CH = 8 см, AH = 12 см. Найдите длину стороны BC.

Решение:

Это задание решается с помощью подобия треугольников. Нам известно, что высота прямоугольного треугольника разбивает его на два подобных треугольника.

Рассмотрим треугольники ABC и ACH. Они подобны по двум углам (угол C общий, угол AHC = угол BAC = 90°).

Из подобия следует пропорция: $$\frac{BC}{AC} = \frac{AC}{CH}$$

Мы знаем $$CH = 8$$ см и $$AH = 12$$ см. Чтобы найти $$AC$$, воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника ACH: $$AC^2 = AH^2 + CH^2 = 12^2 + 8^2 = 144 + 64 = 208$$.

Значит, $$AC = \sqrt{208} = \sqrt{16 \times 13} = 4\sqrt{13}$$ см.

Теперь подставим значение $$AC$$ в пропорцию подобия: $$\frac{BC}{4\sqrt{13}} = \frac{4\sqrt{13}}{8}$$

$$BC = \frac{(4\sqrt{13}) \times (4\sqrt{13})}{8} = \frac{16 \times 13}{8} = 2 \times 13 = 26$$ см.

Ответ: 26 см.