Алина и Настя делают фотографии для вузовского проекта. Каждый день каждая девушка делает на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. В конце Настя сделала на 735 фотографий больше, чем Алина. a) Могло ли это произойти за 21 день? б) Могло ли это произойти за 9 дней? в) Какое максимальное количество фотографий могла сделать Настя, если Алина в последний день сделала меньше 40 фотографий? В ответ укажите значение из пункта "в)".

Для начала определим, на сколько дней они делали фотографии. Пусть $$n$$ - количество дней.

По условию, Настя сделала на 735 фотографий больше, чем Алина. Так как каждый день они делали на 1 фотографию больше, разница в количестве фотографий между ними увеличивается каждый день на 1. Разница между общим количеством фотографий равна сумме арифметической прогрессии с разностью 1. Тогда: $$\frac{n(n+1)}{2} = 735$$

Решим это уравнение, чтобы найти $$n$$: $$n(n+1) = 1470$$

$$n^2 + n - 1470 = 0$$

Чтобы решить это квадратное уравнение, можно использовать квадратную формулу или заметить, что 1470 = 2*3*5*7*7 = 35 * 42. Отсюда видно, что корни уравнения близки к 35 и -36. Фактически, n = 35. $$(n - 35)(n + 36) = 0$$

Поэтому $$n = 35$$ (так как количество дней не может быть отрицательным). Таким образом, они делали фотографии в течение 35 дней.

Теперь перейдем к пункту (в). Пусть $$x$$ - количество фотографий, сделанных Алиной в первый день. Тогда в последний, 35-й день, она сделала $$x + 34$$ фотографии. По условию, $$x + 34 < 40$$, следовательно, $$x < 6$$. Значит, максимальное целое число фотографий, сделанных Алиной в первый день, равно 5.

Теперь найдем максимальное количество фотографий, которое могла сделать Настя. В первый день Настя сделала $$x + 735/35 = x+21$$ фотографий. Значит, в первый день она сделала $$5 + 21 = 26$$ фотографий. В последний, 35-й день, Настя сделала $$26 + 34 = 60$$ фотографий. Сумма фотографий, сделанных Настей, равна сумме арифметической прогрессии: $$S = \frac{(a_1 + a_n)n}{2} = \frac{(26 + 60)35}{2} = \frac{86 \cdot 35}{2} = 43 \cdot 35 = 1505$$

Таким образом, максимальное количество фотографий, которое могла сделать Настя, равно 1505.

Ответ: 1505