Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле $$A(\omega) = \frac{A_0 \omega_p^2}{\left| \omega_p^2 - \omega^2 \right|}$$, где $$\omega$$ – частота вынуждающей силы (в с⁻¹), $$A_0$$ – постоянный параметр, $$\omega_p = 360 c^{-1}$$ – резонансная частота. Найдите максимальную частоту $$\omega$$, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину $$A_0$$ не более чем на одну треть. Ответ дайте в с⁻¹.

Для решения этой задачи нам нужно найти максимальную частоту $$\omega < \omega_p$$, при которой $$A(\omega) \le \frac{4}{3} A_0$$. Запишем неравенство: $$\frac{A_0 \omega_p^2}{\omega_p^2 - \omega^2} \le \frac{4}{3} A_0$$ Так как $$\omega < \omega_p$$, то $$\omega_p^2 - \omega^2 > 0$$, и мы можем умножить обе части неравенства на $$\frac{\omega_p^2 - \omega^2}{A_0}$$: $$\omega_p^2 \le \frac{4}{3} (\omega_p^2 - \omega^2)$$ Умножаем обе части на 3: $$3 \omega_p^2 \le 4 \omega_p^2 - 4 \omega^2$$ Переносим члены с $$\omega_p^2$$ в правую часть: $$4 \omega^2 \le \omega_p^2$$ Делим обе части на 4: $$\omega^2 \le \frac{\omega_p^2}{4}$$ Извлекаем квадратный корень из обеих частей: $$\omega \le \frac{\omega_p}{2}$$ Теперь подставим значение $$\omega_p = 360 c^{-1}$$: $$\omega \le \frac{360}{2} = 180$$ Таким образом, максимальная частота $$\omega$$, удовлетворяющая условию, равна 180 с⁻¹. Ответ: 180