Аналог 1.19.6. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен \frac{5}{13}. Диаметр описанной около него окружности равен 26. Найдите площадь прямоугольника.

Ответ: 240

1. Шаг 1: Найдем стороны прямоугольника.

   Пусть d - диаметр описанной окружности, \( \alpha \) - угол между стороной и диагональю. Тогда стороны прямоугольника можно найти как:

   \[ a = d \cdot sin(\alpha) \]

   \[ b = d \cdot cos(\alpha) \]

2. Шаг 2: Выразим косинус угла через синус.

   Используем основное тригонометрическое тождество:

   \[ sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1 \]

   \[ cos(\alpha) = \sqrt{1 - sin^2(\alpha)} \]

   Подставляем значение синуса:

   \[ cos(\alpha) = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} \]

3. Шаг 3: Найдем стороны прямоугольника.

   \[ a = 26 \cdot \frac{5}{13} = 10 \]

   \[ b = 26 \cdot \frac{12}{13} = 24 \]

4. Шаг 4: Найдем площадь прямоугольника.

   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

   \[ S = a \cdot b = 10 \cdot 24 = 240 \]

Ответ: 240