29. Андрей и Рома по очереди достают ириски из коробки: Андрей берёт 1 ириску, затем Рома берёт 2, Андрей берёт 3, Рома берёт 4 и так далее. Когда ирисок становится недостаточно, мальчик, чья очередь, забирает все оставшиеся ириски. В конце у Андрея оказывается 407 ирисок. Сколько ирисок было в коробке в начале? (A) 814 (Б) 827 (B) 834 (Γ) 841 (Д) 851

Ответ: (Б) 827

Пусть n - число ходов, сделанных мальчиками, пока все ириски не были съедены.

Андрей берет ириски на нечетных ходах, а Рома - на четных.

Сумма ирисок, взятых Андреем: 1 + 3 + 5 + ...

Сумма ирисок, взятых Ромой: 2 + 4 + 6 + ...

Рассмотрим случай, когда число ходов n - четное.

Тогда Андрей сделал n/2 ходов, и взял 407 ирисок. Сумма арифметической прогрессии:

S = (1 + (n-1)) * n / 2

407 = (1 + (n-1)) * n / 2

814 = n^2

n = \(\sqrt{814}\) - не является целым числом, значит, n - нечетное.

Рассмотрим случай, когда число ходов n - нечетное.

Тогда Андрей сделал (n+1)/2 ходов, и взял 407 ирисок. Сумма арифметической прогрессии:

S = (1 + (n)) * (n+1) / 2

407 = ((n+1)/2)^2

814 = (n+1)^2

n+1 = \(\sqrt{814}\) - не является целым числом, значит, где-то есть ошибка.

Пусть Андрей сделал k ходов, тогда он взял 1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) = k^2 ирисок

Тогда k^2 = 407. Ищем ближайший квадрат. 20^2 = 400, значит, Рома взял 1 + 2 + 3 + ... + 39 = 39*40/2 = 780/2 = 390 ирисок.

400 + 390 = 790. Это неверно.

Если Андрей возьмет еще 1 ириску на 41 ходу, тогда Рома возьмет 40 ирисок. Всего = 831

407 + 40 = 447. Рома: 1+2+3+...+40 = 40*41/2 = 820/2 = 410

Андрей: 1+3+5+...+41 = 441+40 = 441. 441 + 410 = 851

Пусть было n ходов, а всего ирисок = х.

После n ходов Андрей взял 407 ирисок, а Рома взял х - 407 ирисок.

Сумма чисел от 1 до n = x

Если n четное, то Андрей взял 1+3+5+...+(n-1), а Рома 2+4+6+...+n.

Если n нечетное, то Андрей взял 1+3+5+...+n, а Рома 2+4+6+...+(n-1).

n = 40

тогда Рома взял 2+4+6+...+40 = 2(1+2+3+...+20) = 2 * 20*21/2 = 20 * 21 = 420.

x = 407 + 420 = 827.

40*41/2 = 820/2 = 41*20 = 820. Это число всех ирисок.

Андрей: 1+3+5+...+39 = 400

Рома: 2+4+6+...+40 = 420

Всего: 820

Значит, на последнем 41 ходу Андрей взял 7 ирисок.

400 + 7 = 407

820 + 7 = 827

Ответ: (Б) 827