\(\angle\) BAN - ?

Решение:

Угол \( \angle BAN \) является вписанным углом, опирающимся на дугу \( BN \). Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен \( \angle BON \).

Однако, по условию, \( \triangle OBN \) является равнобедренным ( \( OB = ON \) - радиусы), и \( ∠ OBN = 90^\circ \) (отрезок \( BN \) касается окружности в точке \( B \), а \( OB \) - радиус, следовательно \( OB \perp BN \)).

В равнобедренном прямоугольном треугольнике \( \triangle OBN \) углы при основании \( ON \) и \( OB \) равны:

\[ \angle BON = \angle BNO = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ \]

Угол \( ∠ BAN \) равен половине центрального угла \( ∠ BON \), опирающегося на ту же дугу \( BN \).

\[ \angle BAN = \frac{1}{2} \angle BON = \frac{1}{2} \cdot 45^\circ = 22.5^\circ \]

Ответ: \( 22.5^\circ \).