18. Аня загадала четырёхзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр, у полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 391. Какую цифру зачеркнула Аня?

Решение: Пусть задуманное число $$abcd$$, где $$a, b, c, d$$ — цифры этого числа. Тогда число можно представить в виде $$1000a + 100b + 10c + d$$. Аня вычла сумму цифр из числа: $$1000a + 100b + 10c + d - (a + b + c + d) = 999a + 99b + 9c = 9(111a + 11b + c)$$. Полученная разность делится на 9. Следовательно, если Аня зачеркнула одну цифру и получила число 391, то исходное число, полученное до зачеркивания, должно давать остаток 0 при делении на 9. Сумма цифр числа 391 равна $$3 + 9 + 1 = 13$$. Пусть $$x$$ - зачеркнутая цифра, тогда $$13 + x$$ должно делиться на 9. Возможные значения $$x$$: 5 ($$13+5=18$$, делится на 9). Ответ: Аня зачеркнула цифру 5.