14 AO=20 BC=?

Рассмотрим треугольник ABC. AO - радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Угол A равен 60 градусов. Пусть O - центр окружности. OC и OB - биссектрисы углов C и B соответственно. Тогда угол OAC = 30 градусов. Пусть K - точка касания окружности и стороны AC. Тогда OK - радиус, проведенный в точку касания, OK перпендикулярен AC. Значит, треугольник AOK - прямоугольный. Тогда AK = AO * cos(30) = 20 * √3/2 = 10√3. Так как AK = AC, то AC = 10√3. Так как AO = 20, то AB = AO / cos(30) = 20 / (√3/2) = 40/√3. Тогда AB = 40√3/3. По теореме косинусов, BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cos(60). BC² = (40√3/3)² + (10√3)² - 2 * (40√3/3) * (10√3) * (1/2) = 1600/3 + 300 - 400 = 1600/3 - 100 = (1600 - 300) / 3 = 1300/3. BC = √(1300/3) = 10√(13/3) = 10√39/3.

Ответ: 10√39/3