9. Архитектор Эдифис. Условие задачи: У архитектора Эдифиса есть 10 прямоугольных макетов земельных участков на берегу Нила: \(1 \times 1, 1 \times 2, 1 \times 3, 1 \times 4, 2 \times 2, 2 \times 3, 2 \times 4, 3 \times 3, 3 \times 4, 4 \times 4\). Во время работы Эдифис потерял один из них, а из остальных составил квадрат. Найди сумму площадей квадратов, которые он мог получить.

Решение: 1. Найдем площади всех участков: * \(1 \times 1 = 1\) * \(1 \times 2 = 2\) * \(1 \times 3 = 3\) * \(1 \times 4 = 4\) * \(2 \times 2 = 4\) * \(2 \times 3 = 6\) * \(2 \times 4 = 8\) * \(3 \times 3 = 9\) * \(3 \times 4 = 12\) * \(4 \times 4 = 16\) 2. Найдем сумму площадей всех участков: \(1 + 2 + 3 + 4 + 4 + 6 + 8 + 9 + 12 + 16 = 65\) 3. Чтобы составить квадрат, нужно чтобы сумма площадей оставшихся участков была полным квадратом. Переберем варианты, какой участок мог потеряться, чтобы оставшаяся сумма была квадратом целого числа: * Если потерялся участок площадью 1: \(65 - 1 = 64 = 8^2\) - подходит * Если потерялся участок площадью 2: \(65 - 2 = 63\) - не подходит * Если потерялся участок площадью 3: \(65 - 3 = 62\) - не подходит * Если потерялся участок площадью 4: \(65 - 4 = 61\) - не подходит * Если потерялся участок площадью 4: \(65 - 4 = 61\) - не подходит * Если потерялся участок площадью 6: \(65 - 6 = 59\) - не подходит * Если потерялся участок площадью 8: \(65 - 8 = 57\) - не подходит * Если потерялся участок площадью 9: \(65 - 9 = 56\) - не подходит * Если потерялся участок площадью 12: \(65 - 12 = 53\) - не подходит * Если потерялся участок площадью 16: \(65 - 16 = 49 = 7^2\) - подходит 4. Значит, Эдифис мог составить квадрат, если потерял участок площадью 1 или участок площадью 16. В первом случае, площадь квадрата будет 64, а во втором - 49. Ответ: 49 или 64