АС и ВС касаются окружности с центром О. ∠OCB = 40°. Найдите ∠ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Так как АС и ВС — касательные к окружности, проведём радиусы ОА и ОВ. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным. Значит, \( \angle OAC = 90° \) и \( \angle OBC = 90° \).

Рассмотрим четырёхугольник ОАСВ. Сумма углов четырёхугольника равна 360°. Поэтому \( \angle ACB = 360° - \angle OAC - \angle OBC - \angle AOB \).

В треугольнике ОВС \( \angle OBC = 90° \) и \( \angle OCB = 40° \). Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому \( \angle COB = 180° - 90° - 40° = 50° \).

Так как АС и ВС — касательные, проведённые из одной точки, то ОА = ОВ (радиусы) и треугольники ОАС и ОВС равны. Значит, \( \angle COB = \angle COA = 50° \).

Угол \( \angle AOB = \angle COA + \angle COB = 50° + 50° = 100° \).

Теперь найдём \( \angle ACB \): \( \angle ACB = 360° - 90° - 90° - 100° = 80° \).

Альтернативное решение:

Так как ОА = ОВ (радиусы) и ОC — биссектриса \( \angle AOB \) и \( \angle ACB \), то треугольники ОАС и ОВС равны (по гипотенузе и острому углу). Следовательно, \( \angle ACO = \angle BCO = 40° \). Тогда \( \angle ACB = \angle ACO + \angle BCO = 40° + 40° = 80° \).

Ответ: 80°.