Точки В и D треугольника QBD лежат на окружности с центром в точке О. С — вторая точка пересечения QD с окружностью. А — вторая точка пересечения QB с окружностью. Известно, что QA = QC, дуги CD и AB равны, ∠QBD = 63°. Найдите ∠BQD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Так как дуги CD и AB равны, то хорды, стягивающие эти дуги, также равны. Следовательно, CD = AB.
2. Условие QA = QC означает, что точки A и C равноудалены от точки Q.
3. Угол \( \angle QBD = 63° \) — вписанный угол, опирающийся на дугу QD. Величина дуги QD равна удвоенной величине вписанного угла, то есть дуга QD = \( 2 \cdot 63° = 126° \).
4. Так как QA = QC, то точка Q находится на биссектрисе угла \( \angle ACD \) и \( \angle CAD \).
5. Пусть величина дуги AB = дуга CD = \( x \).
6. Угол \( \angle QBD \) опирается на дугу QD. Дуга QD = дуга QA + дуга AD.
7. Рассмотрим вписанный угол \( \angle QAD \). Он опирается на дугу QD.
8. В треугольнике QBD, \( \angle QDB \) опирается на дугу QB. \( \angle QAD \) опирается на дугу QD. \( \angle QBC \) опирается на дугу QC.
9. Угол \( \angle QBD = 63° \) — вписанный, значит, величина дуги QD = \( 2 \cdot 63° = 126° \).
10. Рассмотрим треугольник QBD. Нам дан \( \angle QBD = 63° \).
11. По условию дуги CD и AB равны. Пусть \( m(\text{CD}) = m(\text{AB}) = x \).
12. Дуга QD = \( m(\text{QA}) + m(\text{AD}) \).
13. Угол \( \angle QBD \) — вписанный, опирающийся на дугу QD. Дуга QD = \( 2 \cdot 63° = 126° \).
14. Так как QA = QC, то центральные углы, опирающиеся на дуги QA и QC, равны. Это означает, что \( m(\text{QA}) = m(\text{QC}) \).
15. Значит, дуга QD = \( m(\text{QA}) + m(\text{AD}) = 126° \).
16. Также \( m(\text{QB}) = m(\text{QA}) + m(\text{AB}) \) и \( m(\text{QD}) = m(\text{QC}) + m(\text{CD}) \).
17. У нас \( m(\text{QA}) = m(\text{QC}) \) и \( m(\text{AB}) = m(\text{CD}) \).
18. Это значит, что \( m(\text{QB}) = m(\text{QD}) \).
19. Угол \( \angle QBD = 63° \) опирается на дугу QD.
20. Угол \( \angle QDB \) опирается на дугу QB.
21. Так как \( m(\text{QB}) = m(\text{QD}) \), то \( \angle QAD = \angle QBD = 63° \).
22. В треугольнике QBD, сумма углов равна 180°. \( \angle BQD + \angle QBD + \angle QDB = 180° \).
23. \( \angle BQD + 63° + \angle QDB = 180° \).
24. \( \angle BQD + \angle QDB = 117° \).
25. Угол \( \angle QDB \) является вписанным и опирается на дугу QB. \( \angle QDB = \frac{1}{2} m(\text{QB}) \).
26. Так как \( m(\text{QB}) = m(\text{QD}) \), то \( \angle QDB = \frac{1}{2} m(\text{QD}) = \frac{1}{2} @ 126° = 63° \).
27. Теперь найдём \( \angle BQD \): \( \angle BQD = 180° - \angle QBD - \angle QDB = 180° - 63° - 63° = 180° - 126° = 54° \).

Ответ: 54°.