4. АС-касательная, а АВ- хорда окружности с центром в точке О, угол ВАС равен 75 градусов. Чему равен угол АОВ?

Решение:

1. Так как AC - касательная к окружности в точке A, то радиус OA перпендикулярен касательной AC. Следовательно, угол OAC равен 90 градусов: $$\angle OAC = 90^\circ$$.


2. Угол BAC равен 75 градусов (дано): $$\angle BAC = 75^\circ$$.


3. Угол OAB можно найти как разность углов OAC и BAC: $$\angle OAB = \angle OAC - \angle BAC = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ$$.


4. Треугольник OAB является равнобедренным, так как OA = OB (радиусы окружности). Значит, углы OBA и OAB равны: $$\angle OBA = \angle OAB = 15^\circ$$.


5. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. В треугольнике OAB: $$\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$$.


6. Выразим угол AOB: $$\angle AOB = 180^\circ - \angle OAB - \angle OBA = 180^\circ - 15^\circ - 15^\circ = 150^\circ$$.

Ответ: 150 градусов