3. АВ и СД – диаметры окружности с центром в точке О. Докажите, что хорды АС и ВД равны и параллельны.

Доказательство:

Дано: Окружность с центром в точке O, AB и CD - диаметры.

Доказать: AC = BD и AC || BD

Решение:

1. Углы AOC и BOD вертикальные, следовательно, $$\angle AOC = \angle BOD$$.


2. Так как OA = OC = OB = OD (радиусы окружности), то треугольники AOC и BOD равнобедренные.


3. Треугольники AOC и BOD равны по двум сторонам и углу между ними (OA = OB, OC = OD, \(\angle AOC = \angle BOD\)).


4. Из равенства треугольников следует равенство сторон AC и BD (AC = BD).


5. Рассмотрим углы OAC и OBD. Они равны как углы при основании равнобедренных треугольников (\(\angle OAC = \angle OCA\) и \(\angle OBD = \angle ODB\)).


6. Углы OAC и OBD являются внутренними накрест лежащими углами при прямых AC и BD и секущей AB. Равенство этих углов означает, что прямые AC и BD параллельны (AC || BD).

Таким образом, мы доказали, что хорды AC и BD равны и параллельны.