16. АВ - диаметр окружности, а М и N – точки окружности, взятые по разные стороны от этого диаметра, причём ∠MBA = 31°. Найдите ∠MNB.

Дано: (AB) - диаметр окружности, точки (M) и (N) лежат на окружности по разные стороны от диаметра, (\angle MBA = 31^\circ).

Найти: (\angle MNB).

Решение:

1. Угол (\angle MNB) опирается на диаметр (AB), следовательно, (\angle AMB = 90^\circ), так как угол, опирающийся на диаметр, прямой.

2. Рассмотрим треугольник (AMB). Сумма углов в треугольнике равна 180°. Значит, (\angle MAB = 180^\circ - \angle AMB - \angle MBA = 180^\circ - 90^\circ - 31^\circ = 59^\circ).

3. Углы (\angle MBA) и (\angle MNB) опираются на одну и ту же дугу (MA). Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Но это не так, так как (\angle MBA) и (\angle MAB) опираются на хорды, а не на дугу.

4. Четырехугольник (AMBN) - вписанный в окружность. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°.

5. Значит, (\angle MNB + \angle MAB = 180^\circ). Тогда (\angle MNB = 180^\circ - \angle MAB = 180^\circ - 59^\circ = 121^\circ).

Ответ: (\angle MNB = 59^\circ).