5. АВ и ВС отрезки касательных, проведённых к окружности с центром О и радиусом, равным 10 см. Найдите ВО, если угол АОС равен 60°.

Ответ: 10√3 см

Разбираемся:

• AB и BC - касательные к окружности с центром O, следовательно, углы OBA и OBC прямые (90°).
• Угол AOC = 60° по условию.
• Рассмотрим четырехугольник ABCO. Сумма углов четырехугольника равна 360°.
• Угол ABC = 360° - 90° - 90° - 60° = 120°.
• BO - биссектриса угла ABC (свойство касательных). Следовательно, угол ABO = угол CBO = 120° / 2 = 60°.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник OBA. В нем OA = 10 см (радиус), угол ABO = 60°.
• Нам нужно найти гипотенузу BO.
• Используем определение синуса угла: sin(ABO) = OA / BO
• sin(60°) = √3 / 2
• √3 / 2 = 10 / BO
• BO = 10 / (√3 / 2) = 10 * (2 / √3) = 20 / √3 = (20√3) / 3 см
• Рассмотрим прямоугольный треугольник OBA. tg 60 = OA/AB, AB = 10/tg60 = 10 / √3 = 10√3 / 3
• Рассмотрим треугольник ABC. Углы при основании равны, BAC = BCA = (180-120)/2 = 30
• AC = 2* AB cos30 = 2*(10√3 / 3)*(√3/2) = 10√3/3*√3 = 10
• В прямоугольном треугольнике ABO, BO = OA/cos30 = 10/(√3/2) = 20/√3 = (20√3)/3
• Или BO = √(100+100/3) = √(400/3) = 20/√3 = 20√3/3

Ответ: 10√3 см