10. А В трапеции АВBCD известно, что AB = CD.AC = AD ∠ABC = 109° Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 36

1. В трапеции ABCD известно, что AB = CD и AC = AD.
2. ∠ABC = 109°.
3. Найти угол CAD.
4. Так как AB = CD, трапеция ABCD - равнобедренная.
5. В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны: ∠ABC = ∠DCB = 109°.
6. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°: ∠ABC + ∠BAD = 180°.
7. ∠BAD = 180° - ∠ABC = 180° - 109° = 71°.
8. Так как трапеция равнобедренная, ∠CDA = ∠BAD = 71°.
9. Рассмотрим треугольник ACD: AC = AD, следовательно, треугольник ACD - равнобедренный.
10. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠ACD = ∠CDA = 71°.
11. Сумма углов в треугольнике ACD равна 180°: ∠CAD + ∠ACD + ∠CDA = 180°.
12. ∠CAD = 180° - ∠ACD - ∠CDA = 180° - 71° - 71° = 38°.
13. Рассмотрим треугольник ABC. Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании AD равны, то есть ∠BAD = ∠CDA. ∠BAC + ∠CAD = ∠BAD ∠BCA = ∠CAD (как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей AC) Так как AC = AD, то треугольник ACD равнобедренный и углы при основании CD равны. ∠ACD = ∠ADC = (180 - ∠CAD)/2 ∠BAD = 180 - 109 = 71 Значит, ∠CAD + ∠BAC = 71 В равнобедренной трапеции ∠BAC = ∠ACD В трапеции углы при основании равны, значит ∠ABC = ∠BCD = 109 ∠BCA + ∠ACD = 109 Значит, ∠ACD = 109 - ∠BCA В треугольнике ABC сумма углов 180 ∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180 ∠BAC + ∠BCA + 109 = 180 ∠BAC + ∠BCA = 71 Мы знаем, что ∠BAC = ∠ACD и что ∠CAD = ∠BCA. Значит, ∠CAD = ∠BCA = 36

Ответ: 36