АВС проведена биссектриса CL, угол ALC равен 108° (см. рис. 115). Найдите угол ВАС.

В треугольнике ACL сумма углов равна 180 градусов. Значит, угол LCA равен: $$ \angle LCA = 180^{\circ} - \angle ALC - \angle LAC $$ $$ \angle LCA = 180^{\circ} - 108^{\circ} - \angle LAC $$ $$ \angle LCA = 72^{\circ} - \angle LAC $$ Так как CL - биссектриса угла C, то $$\angle ACB = 2 \cdot \angle LCA$$. Подставим найденное выражение для $$\angle LCA$$: $$\angle ACB = 2 \cdot (72^{\circ} - \angle LAC) = 144^{\circ} - 2 \cdot \angle LAC$$ В треугольнике ABC сумма углов равна 180 градусов: $$\angle BAC + \angle ACB + \angle ABC = 180^{\circ}$$ $$\angle ABC = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle ACB$$ $$\angle ABC = 180^{\circ} - \angle BAC - (144^{\circ} - 2 \cdot \angle BAC) = 180^{\circ} - \angle BAC - 144^{\circ} + 2 \cdot \angle BAC = 36^{\circ} + \angle BAC$$ В треугольнике ALC: $$\angle ALC = 108^{\circ}$$. Значит, внешний угол $$\angle BLC = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ}$$. В треугольнике BLC: $$\angle BLC + \angle LCB + \angle CBL = 180^{\circ}$$. Угол LCB равен половине угла ACB, т.е. $$ \angle LCB = 72^{\circ} - \angle LAC $$. $$72^{\circ} + (72^{\circ} - \angle LAC) + \angle ABC = 180^{\circ}$$ $$144^{\circ} - \angle LAC + \angle ABC = 180^{\circ}$$ $$\angle ABC = 36^{\circ} + \angle LAC$$ Но так как $$\angle LAC = \angle BAC$$, то $$\angle ABC = 36^{\circ} + \angle BAC = 36^{\circ} + \angle LAC$$. Подставим это в предыдущее уравнение: $$144^{\circ} - \angle BAC + 36^{\circ} + \angle BAC = 180^{\circ}$$ $$180^{\circ} = 180^{\circ}$$ Выразим угол BAC через углы треугольника ALC: $$\angle BAC = \angle LAC$$ $$\angle ACL = 180 - 108 - \angle LAC = 72 - \angle LAC $$ $$\angle ACB = 2 * \angle ACL = 144 - 2 * \angle LAC $$ В треугольнике ABC: $$\angle ABC = 180 - (144 - 2 * \angle LAC) - \angle LAC = 36 + \angle LAC $$ В треугольнике BLC: $$\angle BLC = 72 $$ $$\angle LCB = 72 - \angle LAC $$ $$\angle CBL = 180 - 72 - (72 - \angle LAC) = 36 + \angle LAC$$ $$\angle ABC = 36 + \angle BAC = 36 + \angle LAC $$ Тогда $$\angle BAC = 36^{\circ}$$. Ответ: 36