АЗ. В равнобедренной трапеции ABCD высота, опущенная из вершины В на большее основание AD, равна 4 см и делит AD на отрезки, равные 5 см и 9 см. Площадь трапеции равна:

Решение:

Пусть \( BH \) — высота трапеции, \( BH = 4 \) см. Опустим высоту из \( C \) на \( AD \), пусть это будет \( CE \). Тогда \( BH = CE = 4 \) см.

Из условия известно, что высота, опущенная из \( B \) на \( AD \), делит \( AD \) на отрезки 5 см и 9 см. Рассмотрим два случая:

Случай 1: \( AH = 5 \) см, \( HD = 9 \) см. Тогда \( AD = AH + HD = 5 + 9 = 14 \) см.

Случай 2: \( AH = 9 \) см, \( HD = 5 \) см. Тогда \( AD = AH + HD = 9 + 5 = 14 \) см.

В равнобедренной трапеции основания равны \( BC \) и \( AD \). Пусть \( BC \) — меньшее основание. Опустим из \( B \) и \( C \) высоты на \( AD \). Пусть \( BH \) и \( CE \) — высоты, \( H, E \) лежат на \( AD \). Тогда \( BC = HE \). Кроме того, \( AH = ED = \frac{AD - BC}{2} \).

Из условия, что высота делит \( AD \) на отрезки 5 и 9 см, а \( BH = 4 \) см. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABH \). Гипотенуза \( AB \) будет больше катета \( AH \).

В равнобедренной трапеции \( ABCD \) с основаниями \( BC \) и \( AD \), если из \( B \) опустить высоту \( BH \) на \( AD \), то \( AH = \frac{AD - BC}{2} \). Если из \( B \) опустить высоту \( BH \) так, что \( H \) лежит на \( AD \), то \( AH = 5 \) и \( HD = 9 \) не могут быть отрезками, на которые высота делит основание, если \( BC \) — основание. Скорее всего, речь идет о том, что основание \( AD \) делится на отрезки, когда мы проводим высоту из \( B \) и из \( C \). Пусть \( BH \) и \( CE \) — высоты, \( H, E \) на \( AD \). Тогда \( BC = HE \). Отрезки \( AH \) и \( ED \) равны. Тогда \( AD = AH + HE + ED = 2AH + BC \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABH \). \( BH = 4 \) см. Если \( AH = 5 \) см, то \( AB = \sqrt{BH^2 + AH^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41} \) см.

Если \( AH = 9 \) см, то \( AB = \sqrt{4^2 + 9^2} = \sqrt{16 + 81} = \sqrt{97} \) см.

В условии сказано, что высота, опущенная из вершины \( B \) на \( AD \), делит \( AD \) на отрезки 5 см и 9 см. Это означает, что точка \( H \) делит \( AD \) на \( AH=5 \) и \( HD=9 \) или \( AH=9 \) и \( HD=5 \). Так как трапеция равнобедренная, то \( ED = AH \).

Случай 1: \( AH = 5 \), \( HD = 9 \). Тогда \( AD = AH + HD = 5 + 9 = 14 \) см. Поскольку \( ED = AH \), то \( ED = 5 \) см. \( AD = AH + HE + ED \) → \( 14 = 5 + HE + 5 \) → \( HE = 14 - 10 = 4 \) см. Тогда \( BC = HE = 4 \) см. Площадь трапеции \( S = \frac{BC + AD}{2} \times BH = \frac{4 + 14}{2} \times 4 = \frac{18}{2} \times 4 = 9 \times 4 = 36 \) см².

Случай 2: \( AH = 9 \), \( HD = 5 \). Тогда \( AD = AH + HD = 9 + 5 = 14 \) см. Поскольку \( ED = AH \), то \( ED = 9 \) см. \( AD = AH + HE + ED \) → \( 14 = 9 + HE + 9 \) → \( HE = 14 - 18 = -4 \), что невозможно.

Значит, \( BC = 4 \) см, \( AD = 14 \) см, \( BH = 4 \) см.

Площадь трапеции \( S = \frac{BC + AD}{2} \times BH = \frac{4 + 14}{2} \times 4 = \frac{18}{2} \times 4 = 9 \times 4 = 36 \) см².