8 B 30° A E7C 60% Найти: АЕ.

Рассмотрим треугольник \(\triangle ABC\). \(\angle C = 90^\circ, \angle A = 30^\circ\), следовательно, \(\angle B = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). Также рассмотрим треугольник \(\triangle ABE\). \(\angle AEB = 60^\circ, \angle A = 30^\circ\), следовательно, \(\angle ABE = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ\). Значит, \(BE\) — высота.

Рассмотрим треугольник \(\triangle BEC\). \(\angle BEC = 90^\circ, \angle EBC = 60^\circ\), следовательно, \(\angle BCE = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\). Тогда в \(\triangle ABE\) катет \(AE\) лежит против угла в \(90^\circ\), значит, \(AE = \frac{AB}{2}\). В \(\triangle BEC\) катет \(EC\) лежит против угла в \(30^\circ\), значит, \(EC = \frac{BE}{2}\). Также, \(AE = AC - EC\). В \(\triangle ABC\) катет \(BC\) лежит против угла в \(30^\circ\), значит, \(BC = \frac{AB}{2}\). Тогда получается, что \(BC= AE\).

Рассмотрим треугольники \(\triangle ABE\) и \(\triangle BCE\). У них сторона \(BE\) общая, \(\angle AEB = \angle BEC = 90^\circ\) и \(AE = BC\). Значит, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда \(AB = CE\). Но так как \(AE = \frac{AB}{2}\), то \(AE = 7\).

Ответ: 7

Проверка за 10 секунд: Если один из углов равен 30°, то противолежащий катет равен половине гипотенузы. Остаётся найти, какой из катетов равен половине гипотенузы.

Доп. профит: База: Помни, что против угла в 30 градусов всегда лежит катет, равный половине гипотенузы. Это упрощает решение многих задач!