B1. Решите уравнение: 2 cos² x + 5 sin x – 4 = 0.

Пошаговое решение:

1. Заменим cos² x на 1 - sin² x:

\[2(1 - sin^2 x) + 5 sin x - 4 = 0\]\[2 - 2sin^2 x + 5 sin x - 4 = 0\]\[-2sin^2 x + 5 sin x - 2 = 0\]

2. Умножим на -1:

\[2sin^2 x - 5 sin x + 2 = 0\]

3. Введем замену t = sin x, тогда уравнение принимает вид:

\[2t^2 - 5t + 2 = 0\]

4. Решим квадратное уравнение:

\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9\]\[t_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2\]\[t_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}\]

5. Вернемся к замене:

\[sin x = 2 \quad \text{(не имеет решений, так как } |sin x| \le 1)\]\[sin x = \frac{1}{2}\]

6. Решим уравнение sin x = \(\frac{1}{2}\)

\[x = (-1)^n arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]\[x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]

Ответ: x = (-1)^n \(\frac{\pi}{6}\) + πn, n ∈ ℤ