B-5. Задача 1: В основании прямой треугольной призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 6 см. Найдите боковое ребро призмы, если её боковая поверхность равна 120 см². Задача 2: В прямой треугольной призме стороны основания относятся как 16:10:4, а боковое ребро равно 15 см. Найдите стороны основания, если боковая поверхность призмы равна 900 см². Задача 3: Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна c, а высота равна h. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Задача 1:

Пусть (a) и (b) – катеты прямоугольного треугольника, лежащего в основании призмы, а (H) – высота (боковое ребро) призмы. Боковая поверхность призмы состоит из трех прямоугольников, площади которых равны (aH), (bH) и (cH), где (c) – гипотенуза основания. Тогда площадь боковой поверхности (S_{бок}) равна сумме этих площадей: (S_{бок} = aH + bH + cH = H(a + b + c)).

Сначала найдем гипотенузу (c) основания по теореме Пифагора:

$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$$

Теперь мы знаем, что (a = 8) см, (b = 6) см, (c = 10) см, и (S_{бок} = 120) см². Подставим эти значения в формулу для площади боковой поверхности:

$$120 = H(8 + 6 + 10) = H(24)$$

Отсюда найдем высоту (H):

$$H = \frac{120}{24} = 5 \text{ см}$$

Ответ: Боковое ребро призмы равно 5 см.

Задача 2:

Пусть стороны основания призмы равны (16x), (10x) и (4x), а боковое ребро равно (H = 15) см. Площадь боковой поверхности (S_{бок}) равна сумме площадей боковых граней, то есть:

$$S_{бок} = 16xH + 10xH + 4xH = H(16x + 10x + 4x) = 15(30x) = 450x$$

Известно, что (S_{бок} = 900) см², поэтому:

$$450x = 900$$

Отсюда найдем (x):

$$x = \frac{900}{450} = 2$$

Теперь найдем стороны основания:

• (16x = 16 \cdot 2 = 32 \text{ см})
• (10x = 10 \cdot 2 = 20 \text{ см})
• (4x = 4 \cdot 2 = 8 \text{ см})

Ответ: Стороны основания равны 32 см, 20 см и 8 см.

Задача 3:

Пусть сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна (c), а высота равна (h). Площадь основания пирамиды (S_{осн}) равна (c^2). Боковая поверхность пирамиды состоит из четырех одинаковых равнобедренных треугольников. Апофема (высота боковой грани) (a) может быть найдена с использованием теоремы Пифагора:

$$a = \sqrt{h^2 + (c/2)^2} = \sqrt{h^2 + \frac{c^2}{4}}$$

Площадь одной боковой грани равна:

$$S_{грани} = \frac{1}{2} c a = \frac{1}{2} c \sqrt{h^2 + \frac{c^2}{4}}$$

Площадь всей боковой поверхности (S_{бок}) равна:

$$S_{бок} = 4 S_{грани} = 4 \cdot \frac{1}{2} c \sqrt{h^2 + \frac{c^2}{4}} = 2c \sqrt{h^2 + \frac{c^2}{4}}$$

Площадь полной поверхности пирамиды (S_{полн}) равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:

$$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = c^2 + 2c \sqrt{h^2 + \frac{c^2}{4}}$$

Ответ: Площадь полной поверхности пирамиды равна (c^2 + 2c \sqrt{h^2 + \frac{c^2}{4}}).