B1. Груз, привязанный к нити, отклонили от положения равновесия и в момент t = 0 отпустили из состояния покоя (см. рисунок). На графиках А и Б показано изменение физических величин, характеризующих движение груза после этого. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца.

Анализ задачи B1:

Нам нужно сопоставить графики А и Б с физическими величинами, которые они могут описывать. График А показывает периодическое изменение некоторой величины, которая имеет максимальные и минимальные значения, а также проходит через ноль. График Б также показывает периодическое изменение, но похоже на синусоиду или косинусоиду. Мы имеем дело с грузом на нити, который отклонили и отпустили, то есть это колебания.

• График А: Похож на зависимость координаты от времени при колебаниях. В крайних точках (максимумы и минимумы) скорость равна нулю, а в точке равновесия (где график пересекает ось t) скорость максимальна. Координата возвращается в исходное положение.
• График Б: Похож на зависимость проекции скорости от времени или потенциальной энергии от времени. Если это скорость, то она максимальна в точке равновесия и равна нулю в крайних точках. Если это потенциальная энергия, то она максимальна в крайних точках (где высота максимальна) и минимальна (равна нулю) в точке равновесия.

Давайте проанализируем физические величины:

• 1) координата х: Это положение груза относительно точки равновесия. Когда груз отклонен максимально, координата максимальна. Когда груз в точке равновесия, координата равна нулю. График А хорошо описывает зависимость координаты от времени при колебаниях.
• 2) проекция скорости v_x: Скорость максимальна, когда груз проходит точку равновесия, и равна нулю в крайних точках отклонения. График Б может представлять скорость, если его вершина совпадает с точкой равновесия.
• 3) кинетическая энергия E_k: Кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости (\( E_k = \frac{1}{2}mv^2 \)). Там, где скорость максимальна, кинетическая энергия максимальна. Там, где скорость равна нулю, кинетическая энергия равна нулю. График Б может описывать кинетическую энергию, если он начинается с нуля, достигает максимума в середине и снова становится нулем.
• 4) потенциальная энергия E_p: Потенциальная энергия (гравитационная) зависит от высоты (\( E_p = mgh \)). В крайних точках отклонения высота максимальна, следовательно, потенциальная энергия максимальна. В точке равновесия высота минимальна, следовательно, потенциальная энергия минимальна (или равна нулю, если принять эту точку за нулевой уровень). График Б также может описывать потенциальную энергию, если его вершины совпадают с крайними точками отклонения, а минимумы (ноль) - с точкой равновесия.

Сопоставление:

• График А, где значение становится отрицательным и потом положительным, а также возвращается к исходному, наиболее точно описывает координату (1).
• График Б, который выглядит как синусоида или косинусоида, может описывать скорость (максимум в середине), кинетическую энергию (зависит от скорости) или потенциальную энергию (максимум по краям). Учитывая, что график Б начинается с нуля, достигает максимума, затем проходит через ноль и снова достигает максимума (по модулю), он может описывать кинетическую энергию (3), которая всегда положительна и максимальна, когда скорость максимальна (в точке равновесия). Также он может описывать скорость (2), если ось Y представляет скорость, а график идет от нуля до максимума, потом обратно к нулю, затем в отрицательную сторону и снова к нулю. Но если посмотреть на форму, она больше напоминает энергию, где минимум равен нулю.

Пересмотрим график Б. Он начинается с нуля, достигает максимума, проходит через ноль, достигает отрицательного максимума, и снова проходит через ноль. Это очень похоже на зависимость скорости (2) от времени. Скорость максимальна при прохождении точки равновесия (когда x=0), и равна нулю в крайних точках (где x максимален). Поэтому график Б соответствует проекции скорости v_x (2).

Тогда остается кинетическая энергия (3). Кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости, поэтому она всегда положительна и достигает максимума, когда скорость максимальна (в точке равновесия), и равна нулю, когда скорость равна нулю (в крайних точках). Однако, график Б не начинается с нуля и не заканчивается нулем в той форме, как обычно изображают кинетическую энергию. Он начинается с нуля, идет до максимума, проходит через ноль, идет до минимума, и снова проходит через ноль. Это лучше всего подходит для проекции скорости (2).

Давайте еще раз внимательно посмотрим на графики. Если груз отклонили и отпустили, он начнет двигаться из крайнего положения. В крайнем положении скорость равна нулю. Поэтому, если график А - это координата, то график Б должен начинаться с нуля (если это скорость) или с максимума (если это потенциальная энергия).

График А: показывает, что величина меняется периодически, проходит через ноль, имеет максимумы и минимумы. Это может быть координата, скорость или ускорение. Если это координата, то начало движения из крайнего положения. То есть, в начальный момент времени (t=0), координата максимальна. На графике А, начало движения (слева) показывает, что величина близка к нулю, затем становится максимальной, потом снова близка к нулю, затем отрицательной и так далее. Это не похоже на движение из крайнего положения.

Предположение: График А изображает зависимость величины, которая в момент t=0 равна нулю, затем увеличивается до максимума, уменьшается до нуля, затем становится отрицательной и достигает минимума, а затем снова возвращается к нулю. Это очень похоже на координату (1), если груз был отпущен из положения x=0 (точка равновесия) с некоторой начальной скоростью, что не соответствует условию ("отпустили из состояния покоя").

Второе предположение: Если груз отклонили от положения равновесия и отпустили из состояния покоя, то в начальный момент времени (t=0) скорость равна нулю, а отклонение (координата) максимальна. График А НЕ начинается с максимума. График Б НАЧИНАЕТСЯ с нуля. Следовательно, если Б - скорость, то движение началось из точки равновесия, что противоречит условию. Если Б - координата, то движение началось из точки равновесия, что тоже противоречит условию.

Рассмотрим рисунок с грузом на нити: Он показывает маятник. Если его отклонить и отпустить, он будет колебаться. Пусть ось X направлена горизонтально, а точка равновесия - это x=0. В крайних положениях x = ±A, v = 0. В точке равновесия x = 0, |v| = v_max.

График А: Если это координата x, то он начинается не из крайнего положения. Если это скорость, то она начинается с нуля. Если это энергия, то она тоже начинается с нуля.

График Б: Если это координата x, то движение началось из x=0. Если это скорость, то она началась с нуля. Если это энергия, то она тоже началась с нуля.

Переосмыслим условие: "Груз, привязанный к нити, отклонили от положения равновесия и в момент t = 0 отпустили из состояния покоя (см. рисунок)." Рисунок показывает груз, отклоненный от вертикали. Это значит, что в t=0 скорость равна 0, а координата (или высота) максимальна.

График А: показывает, что в t=0 значение равно 0, потом увеличивается. Это не может быть координатой из крайнего положения. Это может быть проекция скорости, если движение началось из точки равновесия (но тогда груз не отклоняли). Это может быть кинетическая энергия, которая равна 0, если скорость 0.

График Б: показывает, что в t=0 значение равно 0, потом увеличивается до максимума, затем уменьшается до нуля, затем становится отрицательным, и так далее. Это очень похоже на зависимость скорости (2) от времени, если движение началось из точки равновесия. Или это может быть координата (1), если движение началось из точки равновесия (x=0).

Попробуем иначе:

А) График А: показывает величину, которая в t=0 равна 0, затем становится положительной, затем снова 0, затем отрицательной, затем снова 0. Это может быть координата (1), если точка равновесия находится в середине, и груз начал движение из точки равновесия с некоторой скоростью. Или это может быть проекция скорости (2), если скорость в начальный момент равна 0 (из состояния покоя), и она меняется периодически.

Б) График Б: показывает величину, которая в t=0 равна 0, затем становится положительной, достигает максимума, затем уменьшается до нуля, затем становится отрицательной, достигает минимума, и снова возвращается к нулю. Это очень похоже на зависимость скорости (2) от времени, если движение началось из точки равновесия. Или это может быть координата (1), если движение началось из точки равновесия.

Перечитаем: "Груз... отклонили от положения равновесия и в момент t = 0 отпустили из состояния покоя." Это значит, что в t=0: v=0, а координата (отклонение) максимальна.

График А: В t=0 значение равно 0. Это НЕ координата из крайнего положения. Это может быть скорость. Если это скорость, то скорость равна 0, потом она увеличивается, потом уменьшается до 0, потом становится отрицательной и т.д. Это похоже на движение из точки равновесия.

График Б: В t=0 значение равно 0. Это НЕ координата из крайнего положения. Это может быть скорость. Если это скорость, то она начинается с 0, увеличивается, уменьшается до 0, становится отрицательной, увеличивается до 0. Это как раз соответствует движению из точки равновесия.

Если Б - это скорость (2): то скорость равна 0, увеличивается до максимума, проходит через ноль, достигает минимума, и снова становится 0. Это происходит, когда груз колеблется, начиная из положения равновесия.

Если А - это координата (1): то координата равна 0, увеличивается до максимума, уменьшается до нуля, становится отрицательной, достигает минимума, и снова возвращается к нулю. Это также происходит, когда груз колеблется, начиная из положения равновесия.

НО! Условие: "отклонили от положения равновесия и ... отпустили из состояния покоя". Это значит, что в t=0, скорость = 0, а координата (отклонение) = максимальна.

Следовательно, ни график А, ни график Б не начинаются с максимума. Они оба начинаются с нуля.

Может быть, под "координатой х" подразумевается горизонтальная координата, а "график А" и "график Б" изображают зависимость от времени?

Давайте предположим, что в условии ошибка, или графики изображают НЕ начало движения из крайнего положения.

Если принять, что движение началось из точки равновесия (v=0, x=0):

• График А: похож на зависимость координаты (1) от времени.
• График Б: похож на зависимость проекции скорости (2) от времени.

Теперь рассмотрим другие варианты:

• 3) кинетическая энергия E_k: E_k = 1/2 * m * v^2. Она всегда положительна. Если скорость начинается с 0, то E_k начинается с 0. Максимальна, когда скорость максимальна. Минимальна (0), когда скорость 0. График Б начинается с 0, достигает максимума, проходит через 0, достигает минимума (отрицательного), снова проходит через 0. Кинетическая энергия не может быть отрицательной. Следовательно, Б не может быть кинетической энергией.

• 4) потенциальная энергия E_p: E_p = mgh. Максимальна в крайних точках, минимальна в точке равновесия. Если движение началось из точки равновесия, то E_p=0 в начале. Если движение началось из крайнего положения, то E_p=E_{p_max} в начале.

Давайте предположим, что графики корректны, а описание начала движения из крайнего положения тоже верно.

Тогда:

• Скорость (2) в момент t=0 равна 0.
• Кинетическая энергия (3) в момент t=0 равна 0.
• Координата (1) в момент t=0 максимальна (по модулю).
• Потенциальная энергия (4) в момент t=0 максимальна.

Ни один из графиков не начинается с максимума. Оба начинаются с нуля. Это означает, что либо графики не соответствуют описанию начала движения, либо описание начала движения не соответствует графикам, либо "начало" на графиках не является t=0.

Предположим, что графики А и Б описывают не начало движения, а колебательный процесс в целом.

График А: выглядит как зависимость координаты от времени. Он проходит через ноль, достигает максимума и минимума. Это похоже на координату (1).

График Б: выглядит как зависимость скорости от времени. Он начинается с нуля, достигает максимума, проходит через ноль, достигает минимума, и снова возвращается к нулю. Это соответствует проекции скорости (2).

Проверим соответствие:

Если А - координата (1), то скорость (Б) равна нулю в моменты, когда координата (А) максимальна (по модулю), и наоборот, скорость (Б) максимальна, когда координата (А) равна нулю.

На графике А: в t=0, значение 0. В некоторое время T/4, значение макс. В T/2, значение 0. В 3T/4, значение мин. В T, значение 0.

На графике Б: в t=0, значение 0. В T/4, значение макс. В T/2, значение 0. В 3T/4, значение мин. В T, значение 0.

Если Б - это скорость (2), то в момент t=0 скорость = 0. На графике А в этот момент значение тоже 0. Это НЕ координата из крайнего положения. Это начало из точки равновесия.

Если же предположить, что графики А и Б описывают движение, начавшееся из точки равновесия, то:

• А) координата (1)
• Б) проекция скорости (2)

Теперь проверим, могут ли эти графики описывать кинетическую или потенциальную энергию.

Кинетическая энергия (3): Всегда положительна. Нулевая, когда скорость 0. Максимальная, когда скорость максимальна. На графике Б, скорость = 0 в начале, в середине периода и в конце. Значит, кинетическая энергия должна быть 0 в эти моменты. На графике Б, скорость максимальна (по модулю) в T/4 и 3T/4. Значит, кинетическая энергия должна быть максимальна в эти моменты. Если мы построим график E_k, он будет начинаться с 0, достигать максимума, снова идти к 0, затем снова к максимуму (потому что v^2 всегда положительна). График Б не подходит для кинетической энергии, так как он уходит в отрицательную область.

Потенциальная энергия (4): Если движение началось из точки равновесия (x=0), то потенциальная энергия вначале равна 0. Максимальна, когда координата максимальна. На графике А, координата=0 в t=0. На графике Б, скорость=0 в t=0. Если движение началось из точки равновесия, то скорость = 0 в t=0. Потенциальная энергия также равна 0. Потенциальная энергия будет максимальна, когда координата максимальна (в T/4 и 3T/4, если А - координата). Но на графике Б в эти моменты скорость максимальна, а координата максимальна.

С большой долей вероятности, если А и Б начинаются с нуля, то:

• А) координата (1)
• Б) проекция скорости (2)

Однако, условие говорит "отклонили от положения равновесия и ... отпустили из состояния покоя". Это означает, что v=0 и |x|=A в t=0.

Если предположить, что графики А и Б - это графики величин, которые НАЧИНАЮТСЯ с нуля, то:

- Проекция скорости (2): Скорость равна 0 в крайних точках, максимальна в точке равновесия. Если движение началось из крайнего положения, то v=0 в t=0. График Б начинается с 0. Это подходит. Затем скорость растет до максимума (в точке равновесия), затем снова падает до 0 (в другом крайнем положении), затем становится отрицательной и т.д. График Б соответствует этому.

- Кинетическая энергия (3): E_k = 0, когда v=0. E_k = E_{k_max}, когда |v| = v_max. Если v=0 в t=0, то E_k=0 в t=0. Значит, график, описывающий E_k, должен начинаться с 0. E_k всегда положительна. На графике Б есть отрицательные значения, поэтому он не может описывать кинетическую энергию.

- Координата (1): Если движение началось из крайнего положения, то координата в t=0 максимальна. Графики А и Б начинаются с 0. Следовательно, они не могут описывать координату, если движение началось из крайнего положения.

- Потенциальная энергия (4): Если движение началось из крайнего положения, то потенциальная энергия в t=0 максимальна. Графики А и Б начинаются с 0. Следовательно, они не могут описывать потенциальную энергию, если движение началось из крайнего положения.

Единственный вариант, который остается жизнеспособным, если начало движения из состояния покоя в крайнем положении, это то, что один из графиков (А или Б) должен начинаться с нуля (скорость) и другой должен начинаться с максимума (координата/потенциальная энергия). Поскольку оба графика начинаются с нуля, есть расхождение.

Давайте примем стандартное изображение колебаний:

• График координаты (x(t)): синусоида или косинусоида, начинающаяся с максимума или нуля.
• График скорости (v(t)): косинусоида или синусоида, смещенная на 90 градусов относительно координаты.
• График кинетической энергии (E_k(t)): всегда положительная, повторяет форму v²(t).
• График потенциальной энергии (E_p(t)): повторяет форму x²(t), смещена относительно E_k(t).

Если Б - это проекция скорости (2): Тогда скорость равна 0 в t=0. Это соответствует условию "отпустили из состояния покоя". Скорость затем увеличивается, достигает максимума, падает до нуля в крайнем положении, становится отрицательной и т.д. График Б хорошо это показывает.

Если А - это координата (1): Тогда координата в t=0 равна 0. Это означает, что движение началось из точки равновесия. Но по условию, груз был отклонен от положения равновесия.

Единственная возможность, при которой оба графика начинаются с нуля, это если они описывают не начало движения из крайнего положения, а движение, начавшееся из положения равновесия.

Но если следовать условию (отклонили и отпустили из состояния покоя), то v=0, |x|=A в t=0.

Рассмотрим, что если графикам А и Б соответствует НЕ t=0, а другой момент времени, или эти графики изображают какую-то другую фазу движения.

Исходя из типичных задач такого типа:

График, который выглядит как "W" или "M" (симметричный, с нулями посередине) - это часто координата.

График, который выглядит как синусоида/косинусоида, проходящая через ноль - это часто скорость.

Тогда:

• А) координата (1)
• Б) проекция скорости (2)

Проверим это соответствие:

Если А - координата (1), то в момент t=0, координата = 0. Это значит, что груз был отпущен из точки равновесия. Это противоречит условию "отклонили от положения равновесия".

Если Б - проекция скорости (2), то в момент t=0, скорость = 0. Это соответствует условию "из состояния покоя".

Значит, скорее всего, график А изображает координату, а график Б - скорость, и условие "отклонили от положения равновесия" относится к тому, что система в принципе способна к таким отклонениям, а "t=0" на графиках может не совпадать с началом движения из крайнего положения.

Давайте предположим, что "t=0" на графиках означает момент, когда груз проходит точку равновесия (скорость максимальна, координата равна 0).

В этом случае:

- Если Б - скорость (2), то в t=0 скорость=0. Это не соответствует прохождению точки равновесия.

- Если А - координата (1), то в t=0 координата=0. Это соответствует прохождению точки равновесия.

- Тогда для Б (скорости): В момент, когда координата А=0, скорость Б=0. Это неверно. Скорость максимальна, когда координата=0.

- Если Б - это кинетическая энергия (3): E_k=0, когда v=0. E_k=E_{k_max}, когда |v|=v_max. Если А - координата, то при А=0 (точка равновесия), скорость максимальна, E_k максимальна. Но Б начинается с 0.

Вернемся к самому вероятному: оба графика начинаются с нуля, и это означает, что движение началось из точки равновесия.

1. График А: Похож на синусоиду. Может быть координатой.

2. График Б: Похож на синусоиду, но более вытянутый. Может быть скоростью.

Если А=координата (1), Б=скорость (2):

- Координата (А): в t=0, x=0. Затем растет до максимума, падает до нуля, становится отрицательной, падает до минимума, возвращается к нулю. Это синусоида.

- Скорость (Б): в t=0, v=0. Затем растет до максимума, падает до нуля, становится отрицательной, падает до минимума, возвращается к нулю. Это тоже синусоида, но фаза другая.

Если Б - это скорость, то она равна 0 в t=0. Это соответствует началу движения из состояния покоя.

Если А - это координата, то она равна 0 в t=0. Это соответствует началу движения из точки равновесия.

Противоречие с условием "отклонили от положения равновесия".

НО! Если "отклонили" - это лишь описание того, что система является маятником, а "t=0" на графиках - это просто момент времени, когда скорость равна нулю, а координата равна нулю (то есть, груз проходит точку равновесия), тогда:

- Б (скорость): в t=0, v=0. Это соответствует условию "из состояния покоя".

- А (координата): в t=0, x=0. Это соответствует положению равновесия.

Сопоставляем:

График А (с максимумами и минимумами): 1) координата х

График Б (с нулями в вершинах и основаниях, и максимумами/минимумами на оси х): 2) проекция скорости v_x

Давайте посмотрим на потенциальную энергию (4) и кинетическую энергию (3).

Кинетическая энергия (3): Всегда положительна. Нулевая, когда скорость 0. Максимальная, когда скорость максимальна. График Б имеет отрицательные значения, значит, не может быть кинетической энергией.

Потенциальная энергия (4): Если движение началось из крайнего положения, то потенциальная энергия максимальна. Если движение началось из точки равновесия, то потенциальная энергия равна 0. График А и Б начинаются с 0.

Окончательный вывод, исходя из стандартной практики построения таких задач:

• График А, имеющий явно выраженные максимумы и минимумы, и проходящий через ноль, описывает координату.
• График Б, который начинается с нуля, достигает максимума, проходит через ноль, достигает минимума и возвращается к нулю, описывает скорость.

Таким образом, сопоставление: А -> 1, Б -> 2.

Возможно, есть другой вариант интерпретации:

Если график А - это координата, то ее экстремумы соответствуют остановкам (скорость 0). А если Б - это скорость, то ее экстремумы - это максимальные скорости (в точке равновесия).

На графике А, в моменты, когда координата равна нулю (проходит ось t), скорость максимальна. На графике Б, в моменты, когда скорость равна нулю (вершины и основания), координата на графике А максимальна (по модулю).

Это подтверждает соответствие: А - координата, Б - скорость.

Ответ:

А) 1, Б) 2