B1 Решите систему уравнений: \( \begin{cases} (5x+3)^2 = 8y \\ (3x+5)^2 = 8y \end{cases} \)

Решение:

Поскольку обе части уравнений равны \( 8y \), мы можем приравнять левые части:

\( (5x+3)^2 = (3x+5)^2 \)

Раскроем квадраты:

\( 25x^2 + 30x + 9 = 9x^2 + 30x + 25 \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( 25x^2 - 9x^2 + 30x - 30x + 9 - 25 = 0 \)

\( 16x^2 - 16 = 0 \)

\( 16x^2 = 16 \)

\( x^2 = 1 \)

Отсюда получаем два возможных значения для \( x \):

\( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -1 \)

Теперь найдём соответствующие значения \( y \), подставив \( x \) в любое из исходных уравнений. Возьмём первое: \( (5x+3)^2 = 8y \).

Для \( x_1 = 1 \):

\( (5(1)+3)^2 = 8y \)

\( (5+3)^2 = 8y \)

\( 8^2 = 8y \)

\( 64 = 8y \)

\( y_1 = \frac{64}{8} = 8 \)

Для \( x_2 = -1 \):

\( (5(-1)+3)^2 = 8y \)

\( (-5+3)^2 = 8y \)

\( (-2)^2 = 8y \)

\( 4 = 8y \)

\( y_2 = \frac{4}{8} = 0.5 \)

Система имеет два решения.

Ответ: \( (1; 8); (-1; 0.5) \).